一、函數的連續性

1.連續函數的性質

◇局部有界性

◇局部保号性

◇四則運算法則

◇若f在x0連續，g在u0=f(x0)連續，則g(f(x))在x0連續

◇有界性定理（适用于閉區間）（用局部有界性與有限覆蓋定理證明）

◇最大最小值定理（适用于閉區間）（用有界性定理和确界原理證明）

◇根的存在定理（适用于閉區間）（用局部保号性和區間套定理證明）

◇介值性定理（适用于閉區間）（用根的存在定理證明）

◇一緻連續性定理（用有限覆蓋定理證明）

二、導數和微分

1.導數的概念

◇費馬定理（可導函數極值的必要條件）（用連續函數局部保号性證明）

◇導函數的介值定理（用最大最小值定理和費馬定理證明）

2.求導法則

◇四則運算法則

◇反函數的導數

◇複合函數的導數及其引理

◇參變量函數的導數

◇高階導數

3.微分

◇可微<＝>可導，且微分AΔx中的A等于導數（用有限增量公式證明）

◇微分運算法則（由導數運算法則推出）

◇高階微分

◇一階微分形式的不變性 / 高階微分不具有形式不變性

4.微分中值定理

◇羅爾中值定理（用連續函數最大最小值定理與費馬定理證明）

◇拉格朗日中值定理（用羅爾中值定理證明）

◇導數極限定理（用拉格朗日中值定理證明）

◇函數（嚴格）單調遞增（減）的充要條件（用拉格朗日中值定理證明）

◇柯西中值定理（用羅爾中值定理證明）

◇洛必達法則（用柯西中值定理證明）

5.泰勒公式

◇佩亞諾餘項（用洛必達法則證明）

◇拉格朗日餘項（泰勒定理）（用柯西中值定理證明）

◇積分型餘項（用推廣的定積分分部積分法證明）

◇柯西型餘項（對積分型餘項使用積分第一中值定理得）

6.函數的極值

◇極值的第三充分條件：設f在x0某鄰域内存在n-1階導函數，在x0處可導，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，則：(i) 當n為偶數時，f在x0取極值，且當f(n)(x0) ＜0時取極大值，當f(n)(x0) ＞0時取極小值；(ii) 當n為奇數時，f在x0處不取極值（在x0處用n階泰勒公式（佩亞諾餘項）證明，極值第二充分條件可作為其推論）

7.凸函數的性質

◇充要條件：對I上的任意三點x1＜x2＜x3，總有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)

◇充要條件：對I上的任意三點x1＜x2＜x3，總有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)

◇充要條件：f’為I上的增函數（用上兩條（引理）證）

◇充要條件：對I上的任意兩點x1、x2，f(x2) ≥ f(x1) f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理與上一條定理證）

◇Jensen不等式（用數學歸納法證）

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