今天老黃要證明一個定理：左右導數異号的點，是函數的極值點。而且左正右負是極大值點；左負右正是極小值點.
說它是極值的第一充分條件的變形，是因為它的形式看起來和極值的第一充分條件非常相似。極值的第一充分條件是通過一個點的鄰域兩側的導數的符号性質來判斷這個點是否極值點，是什麼極值點的。而這個定理則是通過一個點的左右導數的符号性質來判斷的。但其實它們之間并沒有直接的聯系。因為證明這個定理，主要還是依據極值的定義。老黃之所以把它們聯系起來，隻是為了記憶的方便罷了。
不過也可以認為，這個定理是第一充分條件的鄰域縮小到，變成一種傾向時，仍成立的特例。
證明：若函數f在x0處有f ’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 則x0為f的極大(小)值點.
注意，由于函數在x0的左右導數異号，所以左右導數肯定不相等。根據可導的充要條件可知，函數在x=x0是不可導的。因此，這個定理隻對不可導但又同時存在左右導數的點有效。
證：“先證左正右負，是極大值點”的情形。根據右導數的定義公式，有：
若f ’(x0)=lim(x->x0^ )(f(x)-f(x0)/(x-x0))<0，則存在某U⁰ (x0,δ1)，使
當x∈U⁰ (x0,δ1)時，有(f(x)-f(x0))/(x-x0)<0，∴f(x)<f(x0).【這是極限的保号性的應用。即極限小于0時，必存在一個區間，使區間内的所有函數值都小于0。反之亦然。後面還會再運用一次極限的保号性】
又根據左導數的定義公式，有：
若f-’(x0)=lim(x->x0^ )((f(x0)-f(x))/(x0-x))>0，則存在某U⁰-(x0,δ2)，使
當x∈U⁰-(x0,δ2)時，有(f(x0)-f(x))/(x0-x)>0，∴f(x)<f(x0).
取δ=min(δ1,δ2)，則當x∈U⁰(x0,δ)時，有f(x)<f(x0)，【不知道有沒有人疑惑這個min函數是怎麼來的，有什麼用。這是因為δ可以無窮小。取較小的那個，上面兩個條件就同時成立了。】
∴x0為f的極大值點.
同理，若f在x0處有f ’(x0)>0, f-’(x0)<0, 則x0為f的極小值點.
第二種情形，希望有學習鑽研精神的小夥伴們，可以自己模仿第一種情形，動手探究一下。老黃自學高數，之所以能夠把學過的都弄懂，就是因為老黃不放過任何一個探究的機會。
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