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插值法處理數據

生活更新时间:2024-12-21 00:46:34

樣條插值比較複雜，用得也最普遍，網上很多課件都沒有完全說清楚，這裡把本人認為說得比較清楚的一個課件轉載如下:

樣條插值産生的原因：

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）1

從這裡看出，與hermite插值相比，樣條插值要求二階導數連續，而前者隻要求一階導數存在。二階導數連續也就是曲率連續，表示這條曲線是光滑的。再看下面一個介紹：

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）2

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）3

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）4

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）5

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）6

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）7

這裡S(x)的導數隻有n-1個點，是因為第一個點沒有左值（x0-0）,最後一個點沒有右值

（xn 0）。

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）8

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）9

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）10

這裡是假設S的二階導數是一條曲線，然後利用拉格朗日插值法得出的表達式。

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）11

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）12

上圖中最後一個表達式将相關數值代入後即得到所求的三次多項式。

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）13

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）14

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）15

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）16

注意上面的讨論，先是在區間[xi,xi 1]上讨論，然後在[xi-1,xi]區間是讨論，也就是一共三個點參加了讨論：xi-1,xi,xi 1。讨論的過程是通過一階導數連續而進行的。

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）17

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）18

接下來通過邊界條件補充缺失的兩個條件：

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）19

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）20

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）21

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）22

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）23

這個三彎矩方程用到了三個點的二階導數。通過上圖可以求出來。

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）24

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）25

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）26

舉例如下：

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）27

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）28

最後與hermite插值相對比：

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）29

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）30

由上述過程可以看出，hermite插值多項式的求解過程隻用到了兩個點的數值及它們的導數值，而樣條插值則用到了三個點的二階導數值。

下圖是兩者程序實現：

插值法處理數據（三次樣條插值與hermite插值的比較）31

簡單總結兩者的區别：

1：樣條插值要求二階導數連續，而hermite插值隻需要一階導數存在。

2：樣條插值用到三個點，而hermite是兩個。

3：樣條函數計算一次得出兩個三次多項式，而hermite則是一個。

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