從哲學上來看，矛盾是無處不存在的，即便以确定無疑著稱的數學也不例外。數學中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。在整個數學發展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續與離散、存在與構造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。

在數學史上，貫穿着矛盾的鬥争與解決。當矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就會産生數學危機。而危機的解決，往往能給數學帶來新的内容、新的發展，甚至引起革命性的變革。

數學的發展就經曆過三次關于基礎理論的危機。

從某種意義上來講，現代意義下的數學，也就是作為演繹系統的純粹數學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，興旺的時期為公元前500年左右。他們認為，“萬物皆數”(指整數)，數學的知識是可靠的、準确的，而且可以應用于現實的世界，數學的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。

整數是在對于對象的有限整合進行計算的過程中産生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數。于是，如果定義有理數為兩個整數的商，那麼由于有理數系包括所有的整數和分數，所以對于進行實際量度是足夠的。

有理數有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，标出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分别表示數0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數都對應着直線上的一個點。

古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，畢氏學派大約在公元前400年發現：直線上存在不對應任何有理數的點。特别是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應于有理數，這裡距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發明新的數對應這樣的點，并且因為這些數不可能是有理數，隻好稱它們為無理數。無理數的發現，是畢氏學派的最偉大成就之一，也是數學史上的重要裡程碑。

無理數的發現，引起了第一次數學危機。首先，對于全部依靠整數的畢氏哲學，這是一次緻命的打擊。其次，無理數看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的，因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學派關于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關于相似形的一般理論也失效了。

“邏輯上的矛盾”是如此之大，以緻于有一段時間，他們費了很大的精力将此事保密，不準外傳。但是人們很快發現不可通約性并不是罕見的現象。泰奧多勒斯指出，面積等于3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對每一種情況都單獨予以了證明。随着時間的推移，無理數的存在逐漸成為人所共知的事實。

誘發第一次數學危機的一個間接因素是之後“芝諾悖論”的出現，它更增加了數學家們的擔憂：數學作為一門精确的科學是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？

在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現在歐幾裡得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一緻。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。

第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊祟地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數學中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發，經過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的自然産物。

回顧在此以前的各種數學，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數學也是從實際出發，應用到實際問題中去的。例如，泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船隻離岸距離等等，都是屬于計算技術範圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數學，并沒有經曆過這樣的危機和革命，也就繼續走着以算為主，以用為主的道路。而由于第一次數學危機的發生和解決，希臘數學則走上完全不同的發展道路，形成了歐幾裡得《原本》的公理體系與亞裡士多德的邏輯體系，為世界數學作出了另一種傑出的貢獻。

但是，自此以後希臘人把幾何看成了全部數學的基礎，把數的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數本身的研究，使算術和代數的發展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發展的局面在歐洲持續了2000多年。

十七、十八世紀關于微積分發生的激烈的争論，被稱為第二次數學危機。從曆史或邏輯的觀點來看，它的發生也帶有必然性。

這次危機的萌芽出現在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而産生的矛盾，提出了關于時空的有限與無限的四個悖論：

“兩分法”：向着一個目的地運動的物體，首先必須經過路程的中點，然而要經過這點，又必須先經過路程的1/4點……，如此類推以至無窮。——結論是：無窮是不可窮盡的過程，運動是不可能的。

“阿基裡斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基裡斯總是首先必須到達烏龜的出發點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。

“飛矢不動”：意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一确定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運動狀态。

“操場或遊行隊伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的c來看，比如說A、B都在1小時内移動了2公裡，可是從A看來，則B在1小時内就移動了4公裡。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。

芝諾揭示的矛盾是深刻而複雜的。前兩個悖論诘難了關于時間和空間無限可分，因而運動是連續的觀點，後兩個悖論诘難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對數學的，但是它們在數學王國中卻掀起了一場軒然大被。它們說明了希臘人已經看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其後果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。

經過許多人多年的努力，終于在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績主要在于：把各種有關問題的解法統一成微分法和積分法；有明确的計算步驟；微分法和積分法互為逆運算。由于運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。同時，關于微積分基礎的問題也越來越嚴重。關鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數學界甚至哲學界長達一個半世紀的争論，造成了第二次數學危機。

無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導緻矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。

英國大主教貝克萊于1734年寫文章，攻擊流數(導數)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數的人，是不會因吞食了神學論點就嘔吐的。”他說，用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，“是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正确的結果”。貝克萊雖然也抓住了當時微積分、無窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問題，不過他是出自對科學的厭惡和對宗教的維護，而不是出自對科學的追求和探索。

當時一些數學家和其他學者，也批判過微積分的一些問題，指出其缺乏必要的邏輯基礎。例如，羅爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的彙集。”在那個勇于創造時代的初期，科學中邏輯上存在這樣那樣的問題，并不是個别現象。

18世紀的數學思想的确是不嚴密的、直觀的，強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特别是：沒有清楚的無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發散級數求和的任意性等等；符号的不嚴格使用；不考慮連續性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成幂級數等等。

直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注于微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結束，中間經曆了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。

波爾查諾給出了連續性的正确定義；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量出發，認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量；并且定義了導數和積分；狄裡赫利給出了函數的現代定義。在這些工作的基礎上，威爾斯特拉斯消除了其中不确切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，并把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。

19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。

三、第三次數學危機

數學基礎的第三次危機是由1897年的突然沖擊而出現的，從整體上看到現在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由于集合概念已經滲透到衆多的數學分支，并且實際上集合論已經成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

1897年，福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論；兩年後，康托發現了很相似的悖論，它們涉及到集合論中的結果。1902年，羅素發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。

羅素，英國人，哲學家、邏輯學家、數學家。1902年著述《數學原理》，繼而與懷德海合著《數學原理》(1910年～1913年)，把數學歸納為一個公理體系，是劃時代的著作之一。他在很多領域都有大量著作，并于1950年獲得諾貝爾文學獎。他關心社會現象，參加和平運動，開辦學校。1968～1969年出版了他的自傳。

羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅索于1919年給出的，它講的是某村理發師的困境。理發師宣布了這樣一條原則：他隻給不自己刮胡子的人刮胡子。當人們試圖答複下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：“理發師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那麼他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那麼他按原則就該為自己刮胡子。

羅素悖論使整個數學大廈動搖了，無怪乎弗雷格在收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷本末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了。當本書等待付印的時候，羅素先生的一封信把我就置于這種境地”。狄德金原來打算把《連續性及無理數》第3版付印，這時也把稿件抽了回來。發現拓撲學中“不動點原理”的布勞恩也認為自己過去做的工作都是“廢話”，聲稱要放棄不動點原理。

自從在康托的集合論和發現上述矛盾之後，還産生了許多附加的悖論。集合論的現代悖論與邏輯的幾個古代悖論有關系。例如公元前四世紀的歐伯利得悖論：“我現在正在做的這個陳述是假的”。如果這個陳述是真的，則它是假的；然而，如果這個陳述是假的，則它又是真的了。于是，這個陳述既不能是真的，又不能是假的，怎麼也逃避不了矛盾。更早的還有埃皮門尼德(公元前6世紀，克利特人)悖論：“克利特人總是說謊的人”。隻要簡單分析一下，就能看出這句話也是自相矛盾的。

集合論中悖論的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自從發現它們之後，人們發表了大量關于這個課題的文章，并且為解決它們作過大量的嘗試。就數學而論，看來有一條容易的出路：人們隻要把集合論建立在公理化的基礎上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。

第一次這樣的嘗試是策梅羅于1908年做出的，以後還有多人進行了加工。但是，此程序曾受到批評，因為它隻是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證将來不出現别種悖論。

另一種程序既能解釋又能排除已知悖論。如果仔細地檢查就會發現：上面的每一個悖論都涉及一個集合S和S的一個成員M(既M是靠S定義的)。這樣的一個定義被稱作是“非斷言的”，而非斷言的定義在某種意義上是循環的。例如，考慮羅素的理發師悖論：用M标志理發師，用S标示所有成員的集合，則M被非斷言地定義為“S的給并且隻給不自己刮胡子人中刮胡子的那個成員”。此定義的循環的性質是顯然的——理發師的定義涉及所有的成員，并且理發師本身就是這裡的成員。因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的己知悖論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個嚴重的責難，即包括非斷言定義的那幾部分數學是數學家很不願丢棄的，例如定理“每一個具有上界的實數非空集合有最小上界(上确界)”。

解決集合論的悖論的其它嘗試，是從邏輯上去找問題的症結，這帶來了邏輯基礎的全面研究。

從1900年到1930年左右，數學的危機使許多數學家卷入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數學的根本，因此必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴展成為學派的争論。以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數學哲學學派應運而生。它們都是唯心主義學派，它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們在争論中盡管言語尖刻，好象勢不兩立，其實各自的觀點都吸收了對方的看法而又有很多變化。

1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，哲學的争論黯淡了下來。此後，各派力量沿着自己的道路發展演化。盡管争論的問題遠未解決，但大部分數學家并不大關心哲學問題。直到近年，數學哲學問題才又激起人們的興趣。

承認無窮集合、承認無窮基數，就好象一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的确定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論中一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次數學危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續着。

數學中的矛盾既然是固有的，它的激烈沖突——危機就不可避免。危機的解決給數學帶來了許多新認識、新内容，有時也帶來了革命性的變化。把20世紀的數學同以前全部數學相比，内容要豐富得多，認識要深入得多。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論，數理邏輯也興旺發達成為數學有機體的一部分。古代的代數幾何、微分幾何、複分析現在已經推廣到高維。代數數論的面貌也多次改變，變得越來越優美、完整。一系列經典問題完滿地得到解決，同時又産生更多的新問題。特别是二次大戰之後，新成果層出不窮，從來間斷。數學呈現無比興旺發達的景象，而這正是人們同數學中的矛盾、危機鬥争的産物。

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