#頭條創作挑戰賽#

前面老黃介紹過有界數列上、下極限的ε-N充要條件. 其實有界數列的上、下極限的充要條件可以有許多，比如還有另一個充要條件是與有界數列的上下确界有關的。

這個定理知識的人并不多，而有一些了解的小夥伴，又很容易對它産生誤解。錯誤地以為，有界數列的上确界就是上極限，下确界就是下極限。其實完全不是醬紙的。

記數列{xn}的上确界為an，然後去掉第一項，得到數列{x_(n 1)}, 它的上确界記為a_(n 1), 再去掉第二項，……，依此類推，會得到一個上确界數列sup(k>=n){xk}, 各項為a_(n 1), a_(n 2),…,a_(n n),… 而這個上确界數列的極限就是上極限。很明顯的，在确得上确界數列各項時，每一項都會去掉原數列的一個項，總有一個項是原數列的上确界，因此，原數列的上确界并不是上極限。講明白這個道理，接下來老黃給大家證明上、下極限的這個與确界有關的充要條件。

設{xn}為有界數列，則

1、¯A為{xn}上極限的充要條件是：¯A=lim(n→∞)sup(k≥n){xk}；

2、▁A為{xn}下極限的充要條件是：▁A=lim(n→∞)inf(k≥n){xk}.

證：1、[必要性] 設lim ̅(n→∞)xn=¯A(¯A為有限值), 則

∀ε>0，{xn}中大于¯A ε的項至多有限個，設其中下标最大者為N，【這是利用上極限的ε-N充要條件來證明】

則當n≥N 1時，xn≤¯A ε, ∴sup(k≥N 1){xk}≤¯A ε,

又{xn}中大于¯A-ε的項有無限多個，∴對一切n有sup(k≥n){xk}>¯A-ε.【這是極限的ε-N定義條件】

∴當n>N時，有¯A-ε<sup(k≥N 1){xk}≤¯A ε, 【這裡也可以用極限的迫斂性來理解】

∴lim(n→∞)sup(k≥n){xk}=¯A.

[充分性] 設lim(n→∞)sup(k≥n){xk}=¯A(¯A為有限值),

設An=sup(k≥n){xk}，則{An}遞減，【上确界數列遞減，因為是從前面去掉原數列的項，所以剩餘部分有可能被剔除了原數列的上确界，即最大值，原來的最大值被去掉了，新的最大值自然隻可能變小或不變了】

∴¯A=inf{An}，即∀ε>0，存在N，使AN<¯A ε,【這是上确界的定義】

∴當n≥N時，xn<¯A ε,【上确界都比¯A ε小，普通項就更小了】

即{xn}中大于¯A ε的項至多有限個；【隻有下标為N以下的項可能大于¯A ε】

又對一切n有An≥¯A>¯A-ε,∴{xn}中大于¯A-ε的項有無限個，【這是上極限的ε-N充要條件】

∴lim ̅(n→∞)xn=¯A.

2、由1有 lim ̅(n→∞)(-xn)=lim(n→∞)sup(k≥n){-xk}=-lim(n→∞)inf(k≥n){xk},【利用1的結論，取相反數列，再根據上确界等于相反數列的下确界的相反數得證】

又lim ̅(n→∞)(-xn)=-▁lim(n→∞)xn=-▁A，∴▁A=lim(n→∞)inf(k≥n){xk}.

像這麼抽象的定理你要是都能理解，那麼學高數就沒有什麼問題了。

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