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導數定義：

由于 x 可以代表定義域内的任意一點x0，上圖說明，任意一點的導數值都是一個極限值,而不是一個函數值。因為導數值代表斜率，斜率是需要兩個以上的點才能求出的。

我們知道，對于一元函數，可導一定連續：

但連續不一定可導：

圖1

這裡有一點要注意，當我們求某一點的導數值f'(x0)的時候，隻有當導函數f'(x)在x0連續的時候，才可以直接把x0代入f'(x)求得f'(x0)的值，否則就要像上圖一樣通過定義來求左導數和右導數。比如f'(x)=x^2這樣的導函數是可以直接代入求取x0這一點的導數值f'(x0)的，這是因為對于這個導數函數來說，任一點x0的極限值就等于它在這一點的函數值。

再看多元函數的情形。

讨論函數

在(0,0)點處的連續性：

由于二元函數任意一個點的鄰域是一個區域，因此就存在着向這個點趨近時候的方向問題。正是由于方向性的存在，導緻了上述函數在(0,0)點的不連續。

但這個函數在(0,0)點的偏導數存在。

對于上圖中函數在(0,0)點的偏導數求法問題，同樣注意：

對于非(0,0)點的偏導數，可以通過導函數來求：

對x偏導數：

Z'x= [y*(x^2 y^2) -xy*2x] /(x^2 y^2)^2

=(y^3 -x^2 y)/(x^2 y^2)^2

對y偏導數：

Z'y=[x*(x^2 y^2) -xy*2y] /(x^2 y^2)^2

=(x^3 -xy^2)/(x^2 y^2)^2

但對于(0,0)點的偏導數，則必須通過定義來求：

這是因為函數在(0,0)點沒有函數表達式，隻有一個數值，而對于一個孤立的點是沒辦法求導數的。當采用定義方式以後，出現了

由于delta x不等于0，因此可以使用函數表達式

而對于極限

之所以等于0 ，是因為我們确定了分子為0，而分母delta x隻是無限趨近于0，永遠也不會等于0，所以結果是0，上述極限并不是什麼0/0型的極限，這也是極限思想的精髓所在。

上面的叙述說明對于多元函數來說，在某一點的偏導數存在，這一點的函數值不一定連續。

那如果函數在某點連續，是不是偏導數一定存在呢？

上圖中的圓錐是一個倒立的圓錐：

當x=0時，由YOZ平面截取的曲線 z=|y| 就是和圖1一樣，因此在(0,0)點是沒有導數的。

也可以通過求偏導函數的方法解決：

上面的這個偏導數函數在(0,0)點也沒有定義，所以在(0,0)點沒有導數值，不可導。

同樣

也不可導。

上面的倒立錐面在(0,0)點是有定義的，但對于偏導函數來說，在(0,0)點是沒有定義的，所以不可導。

因此，對于多元函數來說，函數連續不一定偏導數存在。

簡單概括一下：

1：某一點的導數值是一個極限值。

2：對于多元函數來說，某一點的偏導數存在與否和這一點的函數值是否連續無關。

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