我經常會被問到這麼一個問題：樣本量多大就不用進行正态性檢驗了。殊不知，這問題的本身就是錯誤的，并不是樣本大，就一定要服從正态分布。我們可以輕易舉出一個反例來說明這個問題。比方說就用1-1000這一千個（甚至更多）自然數，組成一個樣本，那麼這個樣本的分布就不是正态分布，因為1-1000服從的是均勻分布。另外，數據的分布基于形成的機理，有的分布天生就非正态（如壽命數據）。

但有些朋友，并不覺得這是一個錯誤的問題，甚至在他們的學習中還流傳着這麼一個說法：樣本量大于30就可以認為是服從正态分布。當你向他問為什麼的時候，會得到一個專業的解釋——中心極限定理。

中心極限定理

中心極限定理（Central Limit Theorem）是統計學中最重要的結論之一。在這裡，我并不想給出中心極限定理專業的定義，隻需要了解它告訴我們：來自某總體的一個樣本，無論該總體服從什麼分布，隻要樣本容量足夠大，其樣本均值都近似服從正态分布。

請注意這裡的說法：“樣本均值“近似正态，而不是樣本本身服從正态（不是說你抽了30個樣品組成的樣本數據就正态）。這裡又有一個大家疑惑的地方，樣本容量足夠大，多大才是足夠大？這個問題的答案和總體分布的形狀相關，如果樣本本是來自近似對稱分布的總體，那麼當樣本量取相當小（如樣本量取5）的值的時候，正态逼近的結果也會非常好。然後，如果總體的分布嚴重傾斜，則樣本量必須取相當大的值。根據檢驗，對于大多數總體來說，樣本容量取30或者更大，就足以得到令人滿意的正态逼近結果。我想這可能就是錯誤認為樣本量大于30就認為是正态分布的出處了。

模拟擲骰子展示中心極限定理

為了展示中心極限定理，模拟多次投擲骰子來說明。

假設您擲骰子 1000 次。您希望得到相等數目的 1、2 等。讓我們查看 1000 次骰子的分布（圖1）。

現在假設您将投擲 2 次，并采用兩次投擲的平均值。您還将重複此試驗 1000 次。讓我們來看看兩次投擲的平均值的分布。這種分布如圖 2 所示。您是否注意到在隻進行了兩次投擲的情況下，平均值的分布已經呈現出了土堆形？

假設您現在投擲骰子三次，然後取三次投擲的平均值。再次重複此試驗 1000 次。讓我們來看看此舉對投擲的平均值分布有何影響。這種分布如圖 3 所示。同樣，分布的形狀與正态分布的形狀相當接近。您是否注意到分布上發生了其他變化？

讓我們投擲骰子五次，并取其平均值。再次重複此試驗 1000 次。這種分布如圖 4 所示。您是否已開始注意到所發生的情形中存在任何模式？

讓我們繼續增加平均投擲次數。此時您将投擲 10 次，并采用 10 次投擲的平均值。這種分布如圖 5 所示。

現在，随着您增加投擲次數，将看到兩個現象。首先，您會看到，平均分布的形狀開始與正态分布的形狀相似。其次，您會看到，随着投擲次數的增加，分布變得越來越窄。讓我們繼續增加投擲次數。此時，您将投擲骰子 20 次。這種分布如圖 6 所示。

到現在，您應該确信增大樣本數量對樣本平均值分布是有影響的。您将再次增大樣本數量，以強化這種認知。此時，您将投擲骰子 30 次。這種分布如圖 7 所示。

讓我們看看所呈現的情況，在一個圖中繪制大小為 2、5、10、20、30 的樣本的直方圖，以查看變化的分布。

從上面的模拟結果，可以知道，當樣本量大于30的時候，那麼樣本均值（取了1000次樣本，得到1000個均值）的分布基本呈正态分布。

另外該定理還指出，如果根據總體不斷重複繪制随機樣本數量 n 以及有限均值 mu(y) 和标準差 sigma(y)，然後在 n 較大時，樣本均值的分布将近似呈正态分布，并且均值等于 mu(y)，标準差等于 (sigma(y))/sqrt(n)。

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