線性代數怎麼理解向量?标量（Scalar）是一個實數，隻有大小，沒有方向而向量（Vector）是由一組實數組成的有序數組，同時具有大小和方向，接下來我們就來聊聊關于線性代數怎麼理解向量?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

線性代數怎麼理解向量

向量和向量空間

向量

标量（Scalar）是一個實數，隻有大小，沒有方向。而向量（Vector）是由一組實數組成的有序數組，同時具有大小和方向。

一個維向量是由個有序實數組成，表示為：

其中稱為向量的第個分量，或者第維。向量符号一般用黑色小寫字母或者小寫字母表示。

為了書寫方便期見，本系列文章向量并沒有進行黑色加粗，但讀者也要進行區分。

向量空間

向量空間（Vector Space）也稱為線性空間（Linear Space），是指由向量組成的集合，并滿足以下的兩個條件：

向量加法 ：向量空間中的兩個向量，他們的和也屬于向量空間

标量乘法：向量空間中的任一向量和任一标量，他們的乘積也屬于向量空間

歐式空間（Euclidean Space）是一個常用的線性空間，通常表示為，其中為空間維度（Dimension）。歐式空間中向量加法和标量乘法定義為：

其中向量加法需要滿足兩個向量的維度必須一緻。

線性子空間向量空間的線性子空間是的一個子集，并且滿足向量空間的兩個條件（向量加法和标量乘法）。

線性無關線性空間中的一組向量，如果對任意的一組标量，滿足，則必然，那麼是線性無關的，也稱為線性獨立。

注意中 0 表示 維的0向量

線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。

補充wiki上的線性相關性判斷：

含有零向量的向量組，必定線性相關。若有向量組，其中，則。

含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。若有向量組，其中，則。

若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。

整體線性無關，局部必線性無關。

向量個數大于向量維數，則此向量組線性相關。

若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。

若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。

若線性無關，而線性相關，則，b必可由線性表示，且表示系數唯一。

有向量組和，其中，且中每個向量都可由線性表示，則向量組必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。

若一向量組可由向量組線性表示，且線性無關，則。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。

基向量向量空間的基（bases）是的有限子集，其元素之間線性無關。向量空間所有的向量都可以按唯一的方式表達為中向量的線性組合。對任意，存在一組标量使得：

其中基中的向量稱為基向量（base vector）。如果基向量是有序的，則标量稱為向量關于基的坐标（coordinates）。

維空間的一組 标準基（standard basis） 為：

中的任一向量可以唯一表示為：

也稱為向量的笛卡爾坐标（Carterian coordinates）。

向量空間中的每個向量可以看作是一個線性空間中的笛卡兒坐标。

内積一個維線性空間中的兩個向量，其内積為：

正交如果向量空間中兩個向量的内積為0，則他們正交（orthogonal）。如果向量空間中一個向量與子空間中的每個向量都正交，那麼向量和子空間正交。

範數

範數（norm）是一個表示向量長度得函數，為向量空間内得所有向量賦予非零得正長度或大小。對于一個維向量，一個常見得範數函數為範數

其中為一個标量的參數。常用的的取值有等。

為向量各個元素的絕對值之和。

為向量各個元素的平方和再開方

範數又稱為Euclidean範數或者Frobenius。從幾何角度，向量也可以表示為從原點出發的一個帶箭頭的有向線段，其範數為線段的長度，也常稱為向量的模。

為向量各個元素的最大絕對值。

下圖給出了常見的不同範數示例。

常見的向量

全0向量指所有元素都為0的向量，用0表示。全0向量為笛卡爾坐标系中的原點。

全1向量指所有元素都為1的向量，用1表示。

one-hot向量為有且已有一個元素為1，其餘元素都為0的向量。

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