數學和差問題怎麼推導-tft每日頭條

數學和差問題怎麼推導

生活更新时间:2025-02-08 23:17:47

歐洲自然數平方倒數和是17世紀下半葉的著名的數學難題，它困擾着歐洲當時許多一流的數學家，這時的歐拉橫空出世，憑借着高超的數學技巧，出人意料的解決了這個難題，從此登上了一流數學家的舞台。解決自然數倒數和是歐拉最早的成名之作。本篇就來讨論這個曆史性的難題

下圖中的幾位歐洲數學大家都曾深入研究過這個問題，但都無果而終，我們來看看轟動一時的歐拉是如何解決這個問題的

數學和差問題怎麼推導（刷新我們三觀的）1

首先我們要借用前一篇《有關π的無窮的數學魅力和它的妙用》中歐拉推導出的sinX麥克勞林級數形式和用根寫出的無窮多項式形式。

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聰明夥伴也許已經猜到歐拉的思路，就是展開根的無窮多項式和它的麥克勞林級數相對應，沒錯，是這樣的。但如何展開這個看上相當繁瑣的多項式呢？我們一步步來，首先第一項和二項相乘得到黃色部分

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接着，我們将上式的第一項和第二項相乘，合并同類項，這個憑我們的初中知識就可以得出來

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繼續重複前面的步驟，合并同類型，我們重點關注下x^3的系數，馬上要刷新你的三觀了，因為它與自然數平方倒數和的形式最接近

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我們就這樣一直做下去，你猜綠色部分最後的形式會變成什麼樣式，

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沒錯，x^3最後的形式是這樣的，盡情的回憶一下上面說的，這個x^3的多項式須等于sinX麥克勞林級數中x^3的項

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這是不是與我們的目标越來越近了，我們繼續

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兩邊乘以-1，在乘以π^2得到，就得到真正的自然數平方倒數和的形式，是不是很神奇

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歐拉的證明是偉大的，别具一格的數學技巧往往能出奇制勝，得到你意想不到的結果。

憑着好奇心，拿起手中的筆算一算，我們看看x^5項會得到什麼，出人意料的得到自然數4次方倒數和。

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能得到這樣的結果非常了不起，這一連串的數學規律和連鎖反應都是有自然數平方和的倒數引起的，從此也刷新了我們對數學的認知。

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