通過三角函數換元法、二次方程判别式和多元函數導數法，介紹求橢圓内接矩形的最長周長。
方法一：三角換元法設矩形與橢圓在第一象限的交點為A(m,n),則：
則矩形的周長C=4(m n),又因為點A在橢圓上，有：
m^2/2 n^2=1,
設m=√2sint，n=cost，t∈[0,π/2],
代入周長表達式得：
C=4(√2sint cost)
=4*√3 [(√2/√3)sint (1/√3)cost]
=4*√3sin(t φ),其中tanφ=√1/2.
可知當sin(t φ)=1時，周長有最大值，即：
Cmax=4*√3.
∵C=4(m n)，
∴m=C/4-n,代入橢圓方程得：
(C/4-n)^2/2 n^2=1,
(C/4-n)^2 2n^2=2,
16*3n^2-8Cn C^2 16*2*n^2-16*2=0,
看成為n的二次方程，由判别式得：
(8C)^2-4*16*3(C^2-16*2)≥0，即：
C^2≤16*3,可得Cmax=4*√3.
方法三：多元函數法設F(m,n)=4(m n)- λ(m^2/2 n^2/1-1),
分别求F對m，n，λ的偏導數為：
Fx=4-2mλ/2,Fy=4-2nλ,
Fλ= m^2/2 n^2-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，則m/2=n,
代入m^2/2 n^2-1=0，則：
m=2/√3，n=1/√3;則
周長Cmax
=4*(2/√3 1/√3)
=4*√3。
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