自然數能表示兩個平方差?這是一系列關于數論的介紹性文章，目的在于推廣數學知識，拓展讀者的數學思維至于為什麼用圖文而不是視頻？圖文有三個優越性：一是圖文數據量小，節省學習時間；二是有助于個人主動思考；三是文字裡的關鍵字，可以方便讀者查閱相關資料，今天小編就來聊一聊關于自然數能表示兩個平方差?接下來我們就一起去研究一下吧!

自然數能表示兩個平方差

這是一系列關于數論的介紹性文章，目的在于推廣數學知識，拓展讀者的數學思維。至于為什麼用圖文而不是視頻？圖文有三個優越性：一是圖文數據量小，節省學習時間；二是有助于個人主動思考；三是文字裡的關鍵字，可以方便讀者查閱相關資料。

哪些數可表示成兩個平方數之和？

對于素數，之前我們介紹了費馬降階法。

對于包括合數的所有正整數，這裡介紹另一個方法，分而治之。

分而治之是一種分割求解的策略，是将問題分解成易于處理的小塊，對每一小塊問題求解，最後把各小塊求解合起來成為原問題的解。

對于哪些數可表示成兩個平方數之和，同樣使用了以下恒等式，兩平方數之和的乘積還是兩平方數之和:

下面是将m表示成兩平方數之和的步驟:

分割任務：将m分解成素數的乘積m=

逐一求解：将每個素數表示成兩個平方數之和。

彙總統一：反複使用上述恒等式将m表示成兩個平方數之和。

參考費馬降階法的介紹，每個素數p是兩個平方數之和的充要條件是p=2或例如，為了将10表成兩個平方數之和，先将10分解成10=2·5，再将2和5表成兩個平方數之和。

然後，利用恒等式将它們結合起來:

10 = 2·5 = .

下面是一個更複雜的例子，将m=1105表示成兩個平方數之和。

分割任務：分解m=1105 =5·13·17.

逐一求解：将每個素數p表成兩平方數之和.

彙總統一：反複利用恒等式(*)将m表成兩平方數之和。

m= 1105 =5·13·17

= =

= =

=

如果m的每個素因子都可表成兩平方數之和，則我們的分割、求解、統一策略是成功的,我們知道哪些素數可表成兩平方數之和。因此,如果m可分解成

其中每個素數或為2或為模4餘1，就有辦法将m表示成兩平方數之和。

然而，還有另外一些m可表成兩平方數之和，例如

.

注意上述每個例子中m都能被整除且中的a,b都可被3整除。将這三個例子用除便得到

可以将此推廣到一般情形。任給，兩邊同乘可得

如果m是兩平方數之和，則對任意d, 也是兩平方數之和。另一方面，如果且a=dA, b =dB有一個公因子d，則可以提出d而得到

于是,m可被整除，且是兩平方數之和。

這意味着，當我們試圖将m表示成兩平方數之和時，可以不考慮m的平方因子，取整數m并将其分解為

其中素因子互不相同。如果都能表成兩平方數之和，則m就能表成兩平方數之和。

考慮m=252000。将m分解為

=

因為素數7不能表成兩平方數之和,所以m不能表成兩平方數之和。

考慮m=25798 500，

5和13都能表示成兩平方數之和，且易得,兩邊同乘即得

對于兩平方數問題，存在以下定理。

定理 (兩平方數之和定理) 設m是正整數。

(a) 将m分解為

其中是互不相同的素因子，則m可表成兩個平方數之和的充要條件是每個或為2或為模4餘1。

(b) m能表示成兩平方數之和且gcd(a, b)=1，當且僅當以下兩個條件之一

成立:

(i) m是奇數且m的每個素因子都模4餘1。

(ii) m是偶數，m/2是奇數且m/2的每個素因子都模4餘1。

所以，家長們，周末和子女玩一個數字分解遊戲吧。

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