在千禧年到來之前，數學經過千年的發展，還有許多難題沒有攻克解決，這些難題影響了數學的基本理論發展。

所以在2000年的時候，美國克雷數學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。2000年5月24日，千年數學會議在著名的法蘭西學院舉行。會上，97年菲爾茲獎獲得者伽沃斯以“數學的重要性”為題作了演講，其後，約翰·泰特和邁克爾·阿蒂亞公布和介紹了這七個“千年大獎問題”。克雷數學研究所還邀請有關研究領域的專家對每一個問題進行了較詳細的詳述。

這7個難題分别是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼猜想、楊-米爾斯存在性和質量缺口、納維-斯托克斯方程的存在性與光滑性、BSD猜想。其中龐加萊猜想已經被俄羅斯數學家佩雷爾曼給解決，所以隻剩下6大難題。

隻要你可以解出這6道數學題，你就可以獲得600萬美元。

這并不是一個傳統數學難題，而是計算複雜性理論的問題。NP的英文全稱是Non-deterministic Polynomial的問題，即多項式複雜程度的非确定性問題。簡單的寫法是 NP=P？，問題就在這個問号上，到底是NP等于P，還是NP不等于P。

我們要知道，什麼是P類問題，什麼是NP類問題，所謂P類和NP類，都是指問題的集合。用确定的圖靈機以多項式時間界可解的問題稱為P類問題；用不确定的圖靈機以多項式時間界可解的問題稱為NP類問題 。首先，數學界已經知道“P類問題”都屬于“NP類問題”，也就是“NP類問題集合”⊇ “P類問題集合”。這是顯然的，一個問題可以在多項式時間複雜度内求解，當然可以在多項式時間複雜度内驗證。

但是反過來，一個可以在多項式時間複雜度内驗證的問題是否一定能夠通過多項式時間複雜度的算法求解呢？也就是說，是否全部的“NP類問題”都屬于“P類問題”呢？這就是著名的“NP=P”問題。如果答案為“是”，那就意味着“NP類問題集合”=“P類問題集合”；如果答案為“否”，那就意味着“NP類問題集合”⊃“P類問題集合”，但不相等。

如果NP=P，那麼将颠覆我們人類世界，我們廣泛應用的RSA加密算法将失效，通過計算很難解決的大量問題都可以通過算法優化而輕松得到解決了。

數學家為了得到更加複雜的形狀，發現了一個非常實用的方法，基本想法是在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧非常好用，使得它可以用許多不同的方式來推廣。

數學家希望通過這種方法，用各種不同類型的方式一步一步地擴展，最終建立一組強有力的代數方程或／和幾何工具，使各種複雜的對象分類成一些具體的簡單的幾何對象及其組合。這使得數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。

不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來在這種擴展過程中，幾何出發點變得模糊起來——到底從哪些簡單幾何對象組合起；組合的程序／序列又是什麼。因此，必須加上一些沒有任何幾何解釋的＂非幾何＂基本模塊。

正是基于這樣的困境， 1958年，英國數學家，第13次國際數學大會的主席霍奇教授提出：對于射影代數簇空間，在非奇異複射影代數簇上, 任何一個霍奇類都可以表達為代數閉鍊類的有理線性（幾何部件的）組合。簡單而言就是：任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多複雜(隻要你能想得出來)，它都可以用一堆簡單的幾何圖形拼成。

霍奇猜想在數學界甚至被一些數學家稱為最難的數學難題，這個問題的表述是否嚴謹合理在數學界都還存在一定的争論。有些人甚至說它應該更準确地稱為一個不着邊際的猜測。

從1958年提出，霍奇猜想的研究進展幾乎為0，而唯一有突破的一次證明還是在霍奇猜想提出之前，是由美國數學家萊夫謝茨于1925年解決的，他證明了霍奇猜想的一種情況。

黎曼猜想究竟講了什麼呢？就是一個尋找質數的方法。

黎曼通過研究，發現質數出現的頻率的規律，提出了黎曼Zeta函數，黎曼Zeta函數是一個無窮級數的求和。

Zeta函數

黎曼對解析延拓後的Zeta函數證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函數的周期零點，這被稱為平凡零點；另一類是Zeta函數自身的零點，被稱為非平凡零點。針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題。

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分布在實部大于0但是小于1的帶狀區域上。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位于實部等于1/2的直線上。

而第三個命題就是重頭戲了：很可能所有非平凡零點都全部位于實部等于1/2的直線上。

黎曼猜想涉及道質數，一旦素數之秘被解開，無需量子計算機，根據其原理甚至能破解現代銀行的安全密碼體系，讓銀行進入破産。

不僅是銀行，那麼現在幾乎所有互聯網的加密方式将不再安全，互聯網變成一個裸奔的世界解。

所以數學家将對黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行保險櫃前瑟瑟發抖，不少黑客則潛伏敲着鍵盤蓄勢待發”。

1954年初，楊振甯和羅伯特·米爾斯提出了楊·米爾斯理論，在此基礎上，科學家由此實現了強弱相互作用和電磁相互作用的大一統，愛因斯坦後半生苦苦思索的統一場論至死沒有實現，但楊振甯的楊—米爾斯理論卻居然一舉統一了宇宙四種基本力的三種。

楊·米爾斯理論中楊·爾斯方程已經獲得巨大成功，但是其相應的數學理論還沒有建立起來。他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。

特别是，被大多數物理學家所确認、并且在他們的對于“誇克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。該假設提供了電子為什麼有質量的一種解釋。質量缺口假設的完全解決将提供嚴格的理論證明，也将闡明物理學家尚未完全理解的自然界的基本方面。此前物理學家隻能觀察到電子有質量，卻無法解釋電子的質量從何而來。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

楊-米爾斯存在性和質量缺口問題的正式表述是：證明對任何緊的、單的規範群，四維歐幾裡得空間中的楊米爾斯方程組有一個預言存在質量缺口的解。

相比起黎曼猜想、費馬大定理、哥德巴赫猜想等全球知名的難題，納維-斯托克斯方程的存在感很低，即使在世界千禧年七大難題裡，也很少會有人提及，最重要的原因就是，這個難題實在是不太好理解。

1775年，著名數學家歐拉，他在《流體運動的一般原理》一書中根據無粘性流體運動時流體所受的力和動量變化從而推導出了一組方程。方程如下：(ax²D² bxD c）y=f(x）（隻是其中一種形式，還有泛函極值條件的微分表達式等），這是屬于無粘性流體動力學（理想流體力學）中最重要的基本方程。

1821年，著名工程師納維推廣了歐拉的流體運動方程，考慮了分子間的作用力，從而建立了流體平衡和運動的基本方程。方程中隻含有一個粘性常數。

1845年斯托克斯從連續統的模型出發，改進了他的流體力學運動方程，得到有兩個粘性常數的粘性流體運動方程的直角坐标分量形式，這就是後世所說的納維-斯托克斯方程。

納維-斯托克斯方程是衆多科學家和工程師的推動下産生的，是一組描述像液體和空氣這樣的流體物質的方程。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率（力）和作用在液體内部的壓力的變化和耗散粘滞力（類似于摩擦力）以及引力之間的關系。

關于這組方程所涉及的難題就是，如何用數學理論闡明這組方程。所以有關納維-斯托克斯方程其解的數學性質有關的數學問題被稱為納維-斯托克斯方程解的存在性與光滑性。

BSD猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer 猜想），它描述了阿貝爾簇的算術性質與解析性質之間的聯系。

該問題的表述為：給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等于它的L函數在1處的零點階數，且它的L函數在1處的泰勒展開的首項系數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的周期以及沙群有精确的等式關系。

前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對于motif的Bloch-Kato猜想。

攻克數學難題的路途就是人類社會前行發展的路途，在攻克的過程中，會産生許多新的數學方法、數學工具、數學規律等，這些新方法、新規律不僅對數學的發展起着重要的推動作用，還會作用于人類生活，推動社會生産力發展。所以希爾伯特将數學難題稱之為“下着金蛋的鵝”。

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