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如何推導柯西中值定理

圖文 更新时间:2024-12-23 00:41:43
柯西定理定義

如何推導柯西中值定理(中值定理之柯西定理)1

我們同樣進行拆解:柯西定理需要滿足三個條件

  • f(x),g(x)在[a,b]内連續
  • f(x),g(x)在(a,b)内可導
  • g'(x)不等于0

其中最後一個條件,可以推出以下式子成立:

如何推導柯西中值定理(中值定理之柯西定理)2

對于第二個式子,很明顯成立,那麼我們看看第一個式子的推導(反證法)

假設g(a)=g(b),那麼g(x)滿足羅爾定理所需條件,那麼我們可以得出結論:

如何推導柯西中值定理(中值定理之柯西定理)3

綜上所述,當滿足上述三個條件時,可使用柯西定理。

柯西定理證明

這裡的輔助函數我們可以參考上篇拉格朗日定理證明所設的輔助函數,證明如下:

如何推導柯西中值定理(中值定理之柯西定理)4

總結

對比羅爾定理,拉格朗日定理和柯西定理,我們可以發現一個特點:

  • 羅爾定理是特殊的拉格朗日定理(或在特殊情況下的)
  • 拉格朗日定理是特殊的柯西定理(或在特殊情況下的)

三大中值定理需要注意的是它們所需要的條件。

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