我們同樣進行拆解:柯西定理需要滿足三個條件
其中最後一個條件,可以推出以下式子成立:
對于第二個式子,很明顯成立,那麼我們看看第一個式子的推導(反證法)
假設g(a)=g(b),那麼g(x)滿足羅爾定理所需條件,那麼我們可以得出結論:
綜上所述,當滿足上述三個條件時,可使用柯西定理。
柯西定理證明這裡的輔助函數我們可以參考上篇拉格朗日定理證明所設的輔助函數,證明如下:
總結
對比羅爾定理,拉格朗日定理和柯西定理,我們可以發現一個特點:
三大中值定理需要注意的是它們所需要的條件。
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