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怎麼判斷三角形是否成立

圖文更新时间:2025-01-25 03:45:40

怎麼判斷三角形是否成立（判斷一點是否在三角形内部）1

接上文：碰撞檢測算法之GJK算法

GJK算法中，需要判斷三角形（單純形）是否包含原點，來決定是否退出叠代循環。

同時，判斷一點是否在三角形内部的問題也是一些互聯網公司對算法工程師面試中的一道算法題。

如下圖所示，已知點 A、B、C 三點和點P 的坐标，判斷點P是否在由A、B、C 三點組成的三角形内。

怎麼判斷三角形是否成立（判斷一點是否在三角形内部）2

方法一：三角形面積法

如下圖所示，當點P在三角形内部時，三角形面積：

△PAB △PBC △PCA = △ABC

怎麼判斷三角形是否成立（判斷一點是否在三角形内部）3

當點P在三角形外部時，則三角形面積：

△PAB △PBC △PCA > △ABC

怎麼判斷三角形是否成立（判斷一點是否在三角形内部）4

已知三角形三點坐标，可先求得三條邊 a、b、c 的長度，再根據海倫公式，即可求得三角形面積。

怎麼判斷三角形是否成立（判斷一點是否在三角形内部）5

方法二：向量法

向量法判斷點與線段的關系(一)

向量法判斷點與線段的關系(二)

先來回顧一下向量叉乘的定義：

怎麼判斷三角形是否成立（判斷一點是否在三角形内部）6

向量的叉乘可以用來判斷點P是在向量AB的左側還是右側。

通過觀察，可以發現：

若點P在三角形内部時，沿逆時針方向，則點P一直在向量AB、BC、CA的左側；
若點P在三角形外部時，則點P必然在AB、BC、CA某一向量的右側。

怎麼判斷三角形是否成立（判斷一點是否在三角形内部）7

若是三角形三點是順時針方向，則若點P在三角形内部時，點P一直在向量AB、BC、CA的右側。

對于點P在三角形的某一邊上或與某一頂點重合的特殊情況，上述兩種方法同樣适用，需要注意一下臨界條件的設置。

對于三角形，可以采用上面兩種方法，對于任意多邊形，則可根據射線法來判斷某點是否在多邊形的内部，該問題也稱為 PIP（Point in Polygon）問題。

怎麼判斷三角形是否成立（判斷一點是否在三角形内部）8

詳見：判斷一點是否在多邊形内部：射線法

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