一．概念描述

現代數學：除法是數學中的基本運算之一，已知兩個數a，b(b≠0)，要求一個數q，使q與b的積等于a，這種運算稱為除法，記為a÷b=q或a：b=q，讀作a除以b等于q，a比6等于q。a稱為被除數，b稱為除數，q稱為a與b的商，符号“÷”或“：”稱為除号或比号。

除法可以定義為：已知兩數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。因此，除法還是乘法的逆運算。除法還可以看作從被除數中連續減去除數，求減去除數的次數的算法。特别地，對于任意數a÷1 =a，a÷a=1, 0÷a=0。

小學數學：現行的小學數學教材一般是在二年級時開始學習除法，教材中沒有給出除法的定義。不同版本的教材都是結合生活實例，讓學生在分一分的活動中，感受到在生活中分東西時，可以按份數平均分，也可以按每份數平均分，在積累了大量等分經驗基礎上引出除法。

二．概念解讀

自然數的除法，一般作為乘法的逆運算加以定義。但是，也可以直接定義，像将乘法定義為連加某個數一樣，也可把除法定義為連減某個數，直到不能減為止。若剩餘數為0，則稱為除盡；否則，稱為帶餘除法。

在除法中，零不能做除數。因為在a÷b=q中，當a≠0時，由于任何數乘0都不可以等于a，所以a÷b的商不存在；當a=0時，由于任何數乘0都等于0，所以a÷b的商不确定。

除法的本質是平均分，一般人認為，現代記号“÷”作為除法運算的符号，首創者是瑞士數學家雷恩。據說，雷恩先生在做數學運算時，遇到要把一個整體分成幾份的問題，但沒有符号可以表示這種分法。于是，他就用一條短橫線把兩個圓點分開，表示分解的意思。這種推測，道出了除法表示等分成幾份之意。

除法算式一般有兩種讀法。如8÷2=4，可以讀作8除以2等于 4，也可以讀作2除8等于 4。這是因為在原先的漢語言表達中，除法是區分主動與被動狀态的，“除以”就是用某數除的意思。像剛才說的8除以2，就是以2除8之意。因為“除”和“除以”這兩個概念既有區别又有聯系，所以常常引起學生的混淆。近些年來，随着“乘”和“乘以”兩個概念統一為“乘”，“除”和“除以”這兩個概念是否統一也成了老師們熱議的話題。

在小學，除法概念的學習分為兩個階段。第一個階段是在中低年級，數的範圍局限在非負整數集。這時主要理解：除法表示平均分，以及除法是乘法的逆運算。第二個階段是在高年級，數的範圍在整數、小數、分數上，主要理解除法和分數、比的關系。可見，學生學習除法概念的過程是由淺人深、循序漸進的。

三．教學建議

除法是平均分的數學化表示。學生隻有充分經曆“平均分”的過程，明确“平均分”的含義，建立起“平均分”的清晰表象，才能為認識除法打好基礎。侯麗麗老師充分重視“平均分”在除法學習中的重要作用，在教學中能夠抓住概念本質，帶領學生深入理解平均分。具體如下。

(1)重視操作，使學生充分經曆平均分的活動

侯老師首先引導學生在動手操作的過程中，理解“平均分”的概念，使學生體會到日常分東西時有一種特殊情況，每份分得同樣多，就是平均分。然後侯老師鼓勵學生用不同的方法進行平均分。

①探索平均分的方法。

侯老師提出問題：把9個桃子，平均分給3 隻小猴，每隻小猴幾個桃子？學生動手操作後，彙報交流。

方法一：

方法二： 方法三：

方法四： 方法五：

在交流中，學生發現前四種方法每次分給每隻小猴的桃子的個數都同樣多，所以最後每隻小猴都得到了3個桃子。對于方法五，雖然每一次分給每隻小猴的桃子的個數不一樣，但經過調整後，每隻小猴最後分得的結果同樣多，也是平均分。學生在交流的過程中還發現，這種方法雖然從最後結果看是平均分，但是有些麻煩，在分的過程中還需要不斷地調整，從而體會到為了确保結果是平均分，在分的過程中每一次最好分得同樣多。

緊接着，侯老師再出示：猴王摘了8個桃子，每2個給1隻小猴，猜猜可以分給幾隻小猴？學生動手進行驗證。

這樣，學生在充分經曆了平均分物的過程後，不僅掌握了平均分的方法，也對平均分的含義有了進一步的認識。

②突出平均分的本質屬性。

侯老師讓學生思考：把9個桃子平均分給3隻小猴，每隻小猴分得3個桃子；又把8個桃子，按每2個桃子分給1隻小猴，結果平均分給了4隻小猴。想想剛才分的情況有什麼相同的地方？

候老師通過這道題目使學生明确：不管是按份數平均分，還是按每份數平均分，結果每一份分得的都同樣多，都是平均分。

(2)将平均分的過程與除法算式及含義建立充分的聯系

由于除法概念比較抽象，因此除法的初步認識往往會從分物活動引入，使學生理解“除”的實質是平均分。在進行平均分的教學時，就要讓學生對平均分的過程和方法非常清楚，要知道分的是什麼，怎麼分的，分的結果是什麼。然後結合平均分的具體情境教學除法算式的寫法和含義，使學生體會到被除數是要分的總數，除數是平均分的份數或每份的數，商是平均分的結果，體會到除法是解決平均分問題的一種運算方法。學生經過這樣多次的體驗、感悟，就能逐漸建構起除法這一概念的模型。

四．推薦閱渎

(1)《整體感悟基礎上的分析---“認識除法”的教材分析及教學建議》（劉秘密，《教學月刊（小學版）》，2011年第3期）

該文以“認識除法”一課為例，分析了不同版本的教材編寫及其教學過程中的問題，并對教材進行了重組，給出了一些具體的教學建議。

(2)《也談“除”和“除以”》（王全夫，《中小學數學（小學版）》，2008年第6期）

該文闡述了“除”和“除以”這兩個概念以及“除”和“除以”作為不同概念的利弊，并分析了這兩個概念和諧統一的可能性。

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