什麼是正态分布

正态概率分布是連續型随機變量概率分布中最重要的形式，它在實踐中有着廣泛的應用。在生活中有許多現象的分布都服從正态分布，如人的身高、體重、智商分數；某種産品的尺寸和質量；降雨量；學習成績，特别是，在統計推斷時，當樣本的數量足夠大時，許多統計數據都服從正态分布。下面以人的身高為例，通俗解釋一下什麼是正态分布？

随機抽取200位同等年齡上下的男性，測量好他們的身高之後計算出平均身高，通過将平均身高和他們各自的身高對比，我們可以輕松發現這一現象：大多數男性的身高都集中在平均身高上下浮動，有極少數男性身高很矮，也有極少數男性身高很高。這200為男性身高的概率密度函數可能如下圖所示：

實際上，這種形狀十分常見，應用很廣泛，它叫做正态分布。

正态分布的概率密度函數

正态分布之所以被稱為正态，是因為它的形态看起來合乎理性。在現實生活中，遇到測量值之類的大量連續數據時，正常情況下都會期望看到這種形态。正态分布的概率密度函數的計算公式如下：

其中µ＝均值，σ＝标準差，π＝3.14159，e＝2.71828。如果随機變量X符合上述概率密度函數的分布，則稱X是服從參數為µ，σ2的正态分布，記為X～N(µ，σ2)。

正态分布的概率密度函數具有下列性質；

1. 以x＝µ為對稱軸的對稱分布；

2. σ2指分散性，σ2值越大，正态分布的曲線越扁平、越寬；

3. 以x軸為漸近線；

4. 若随機變量X1,X2…,Xn皆服從正态分布，且相互獨立，則對任意幾個常數a1,a2,…,an(不全為0)，Z=a1X1 a2x2 …… anXn也服從正态分布。

正态分布求概率

在《每天一點統計學——概率密度函數》中，我們已經知道如何使用概率密度函數求概率的方法。但是在正态分布中求概率是非常困難的，提供包括所有不同的µ和σ的正态分布表也是不可能的。所以統計學家通過一種簡單的方法來解決這一問題。對于一個随機變量X～N(µ，σ2)，如果令Z=(x-µ)/σ（标準分），則随機變量Z服從µ=0,σ2=1的正态分布，記為Z～N(0,1)，稱為标準正态分布。

标準正态分布的概率密度函數為：

通過上式可以看出标準正态分布不再依賴于參數µ和σ，它是固定的，是唯一的。因此，标準正态分布中随機變量與其概率的對應關系被計算出來，并列為标準正态概率分布表，以便查詢。于是，對于不同的µ和σ，隻要将變量值轉化為Z值，然後查表即可得到其概率值。

标準正态概率分布表

例子：已知研究生完成一篇碩士論文的時間服從正态分布，平均花費2500h，标準差為400h，現随機找到一個已完成論文的學生，求：

（1）他完成論文的時間超過2700h的概率；

（2）他完成論文的時間低于2000h的概率；

（3）他完成論文的時間在2400h～2600h之間的概率。

解：用X表示完成論文的時間，則X～N(2500，400*400)。這是非标準的正态分布，如果直接計算概率是非常麻煩的，我們首先将其轉化為标準正态分布，然後通過标準正态分布表查出變量的概率值。

（1）求P(X>2700)

Z=(x-µ)/σ=(2700-2500)/400=0.5

可以查詢标準正态分布概率表，表中第一列是z值，第一行是z值的補充值，現z=0.5求的是從0.5到 ∞的區間上的概率，即1-0.6915 = 0.3085。

（2）求P(X<2000)

Z=(x-µ)/σ=(2000-2500)/400=-1.25

根據正态分布的對稱性，1.25的概率值與－1.25的概率值完全對稱，所以隻查1.25的概率值即可。Z=1.25時，P(1.25)=0.8944，則P(-1.25)= 1-P(1.25)=0.1056

（3）求P(2400<X<2600)

Z1=(x-µ)/σ=(2600-2500)/400=0.25

Z2=(x-µ)/σ=(2400-2500)/400=-0.25

查詢标準正态分布概率表,可得出P(0.25) = 0.5987,P(-0.25) = 0.4013。

P(2400<x<2600)=P(x<2600) - P(x<2400) = 0.5987 - 0.4013 = 0.1974

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