魔方是一種深受人們喜愛的益智玩具。自 20 世紀 80 年代初開始，這一玩具風靡了全球。

魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力遊戲之一。

通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方。三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成。常規競速玩法是将魔方打亂，然後在最短的時間内複原。廣義的魔方，指各類可以通過轉動打亂和複原的幾何體。

魔方與華容道、法國的單身貴族（獨立鑽石棋）同被稱謂智力遊戲界的三大不可思議。

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魔方是匈牙利布達佩斯應用藝術學院的建築學教授艾爾諾·魯比克（Ernö Rubik）發明的，也被稱為魯比克方塊（Rubik’s cube）。

魯比克最初想發明的并不是益智玩具，而是一個能演示空間轉動，幫助學生直觀理解空間幾何的教學工具。經過一段時間的考慮，他決定制作一個由小方塊組成、各個面能随意轉動的 3×3×3 結構的立方體。

艾爾諾·魯比克

但如何才能讓立方體的各個面既能随意轉動，又不會因此而散架呢？這一問題讓魯比克陷入了苦思。1974 年一個夏日的午後，他在多瑙河畔乘涼，當他的眼光無意間落到河畔的鵝卵石上時，忽然靈感閃現，他想到了解決困難的辦法，那就是用類似于鵝卵石那樣的圓形表面來處理立方體内部的結構。由此他完成了魔方的設計。

魔方為什麼會有這麼大的魅力呢？那是因為它具有幾乎無窮無盡的顔色組合。标準的魔方是一個 3×3×3 結構的立方體，每個面最初都有一種确定的顔色。

但經過許多次随意的轉動之後，那些顔色将被打亂。這時如果你想将它複原（即将每個面都恢複到最初時的顔色），可就不那麼容易了。因為魔方的顔色組合的總數是一個天文數字：約 43 252 003 274 489 856 000。

如果我們把所有這些顔色組合都做成魔方，并讓它們排成一行，能排多遠呢？能從北京排到上海嗎？不止。能從地球排到月球嗎？不止。能從太陽排到海王星嗎？不止。能從太陽系排到比鄰星嗎？也不止！事實上，它的長度足有 250 光年！

魔方的顔色組合如此衆多，使得魔方的複原成了一件需要技巧的事情。但是，純熟的玩家卻往往能在令人驚歎的短時間内就将魔方複原，這表明隻要掌握技巧，使魔方複原所需的轉動次數并不太多。

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自 1981 年起，魔方愛好者們開始舉辦世界性的魔方大賽。在這種大賽中，不斷有玩家刷新最短複原時間的世界紀錄。

不過，玩家們複原魔方所用的轉動次數并不是理論上最少的次數（即并不是“上帝之數”），因為他們采用的是便于人腦掌握的方法，追求的則是最短的複原時間。

多幾次轉動雖然要多花一點時間，但比起尋找理論上最少的轉動次數來仍要快速得多——事實上，後者往往根本就不是人腦所能勝任的。

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那麼，最少要多少次轉動才能讓魔方複原呢？或者更确切地說，最少要多少次轉動才能确保任意顔色組合的魔方都被複原呢？這個問題不僅讓魔方愛好者們感到好奇，還引起了一些數學家的興趣，因為它是一個頗有難度的數學問題。數學家們甚至給這個最少的轉動次數取了一個很氣派的别名，叫作“上帝之數”。

自 20 世紀 90 年代起，數學家們就開始尋找這個神秘的“上帝之數”。

尋找“上帝之數”的一個最直接的思路是大家都能想到的，那就是對所有顔色組合逐一計算出最少的轉動次數，它們中最大的那個顯然就是能确保任意顔色組合都被複原的最少轉動次數，即“上帝之數”。可惜的是，那樣的計算是世界上最強大的計算機也無法勝任的，因為魔方的顔色組合實在太多了。

怎麼辦呢？數學家們隻好訴諸他們的老本行——數學。

1992 年，一位名叫赫伯特·科先巴（Herbert Kociemba）的德國數學家提出了一種新思路。

他發現， 在魔方的基本轉動方式中， 有一部分可以自成系列， 通過這部分轉動可以形成将近 200 億種顔色組合。利用這 200 億種組合， 科先巴将魔方的複原問題分解成了兩個步驟：第一步是将任意一種顔色組合轉變為那 200 億種組合之一， 第二步則是将那 200 億種組合複原。如果我們把魔方複原比作是讓一條汪洋大海中的小船駛往一個固定的目的地， 那麼科先巴提出的那兩百億種顔色組合就好比是一片特殊的水域——一片比那個固定地點大了 200 億倍的特殊水域。他提出的兩個步驟就好比是讓小船首先駛往那片特殊水域， 然後從那裡駛往那個固定的目的地。在汪洋大海中尋找一片巨大的特殊水域， 顯然要比直接尋找那個小小的目的地容易得多， 這就是科先巴的新思路的優越之處。但即便如此， 要用科先巴的方法對 “上帝之數” 進行估算仍不是一件容易的事。尤其是， 要想進行快速的計算， 最好是将複原那 200 億種顔色組合的最少轉動次數 (這相當于是那片 “特殊水域” 的地圖) 存儲在計算機的内存中， 這大約需要 300 兆的内存。

300 兆在今天看來是一個不太大的數目， 但在科先巴提出新思路的那年， 普通機器的内存連它的十分之一都遠遠不到。因此直到三年後， 才有人利用科先巴的方法給出了第一個估算結果。此人名叫裡德(M. Reid)， 是美國數學家。

1995 年， 裡德通過計算發現， 最多經過 12 次轉動， 就可以将魔方的任意一種顔色組合變為科先巴那 200 億種組合之一；而最多經過 18 次轉動， 就可以将那 200 億種組合中的任意一種複原。這表明， 最多經過 12 18=30 次轉動， 就可以将魔方的任意一種顔色組合複原。

運用這一思路，2007 年，“上帝之數”被證明了不可能大于 26。也就是說，隻需 26 次轉動就能确保任意顔色組合的魔方都被複原。

但這個數字卻還不是“上帝之數”，因為科先巴的新思路有一個明顯的局限，那就是必須先經過他所選出的特殊顔色組合中的一個。

事實上，某些轉動次數最少的複原方法是不經過那些特殊顔色組合的。因此，科先巴的新思路雖然降低了計算量，找到的複原方法卻不一定是轉動次數最少的。

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為了突破這個局限，數學家們采取了一個折中手段，那就是适當地增加特殊顔色組合的數目，因為這個數目越大，轉動次數最少的複原方法經過那些特殊顔色組合的可能性也就越大。當然，這麼做無疑會增大計算量。不過，計算機技術的快速發展很快就抵消了計算量的增大。

2008 年，計算機高手湯姆·羅基奇（TomRokicki）用這種折中手段把對“上帝之數”的估計值壓縮到了 22。也就是說，隻需要 22 次轉動就能确保任意顔色組合的魔方都被複原。

那麼，22 這個數字是否就是“上帝之數”呢？答案是否定的。這一點的一個明顯征兆，就是人們從未發現任何一種顔色組合需要超過 20 次轉動才能複原。

這使人們猜測“上帝之數”應該是 20（它不可能小于 20，因為有很多顔色組合已被證明需要 20 次轉動才能複原）。2010 年 7 月，這一猜測終于被科先巴本人及幾位合作者所證明。

因此，現在我們可以用數學特有的确定性來回答“最少要多少次轉動才能讓魔方複原？”了，答案就是：20 次。

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來源：原點閱讀

編輯：雲開葉落

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