1．簡單的邏輯聯結詞

(1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯結詞．

(2)命題p∧q、p∨q、非p的真假判斷真

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用“∀”表示；含有全稱量詞的命題叫做全稱命題．

(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用“∃”表示；含有存在量詞的命題叫做特稱命題．

邏輯聯結詞中的“或”相當于集合中的“并集”，

邏輯聯結詞中的“且”相當于集合中的“交集”，

邏輯聯結詞中的“非”相當于集合中的“補集”，

3.要點整合

（1）若p∧q為真，則p，q同為真；

若p∧q為假，則p，q至少有一個為假；

若 p∨q為假，則p，q同為假；

若p∨q為真，則p，q至少有一個為真．

（2）“p∧q”的否定是“非（p∧q）”或“(非p)∨(非q)”；

（3）﹁p，p∨q，p∧q的真假判斷

（4）全稱命題與特稱命題的否定

（5）否命題與命題的否定

練習題

題型一. 含有一個邏輯聯結詞命題的真假性

例1. 已知命題p：對任意x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件．則下列命題為真命題的是( )

A．p∧q B．(非p)∧(非q)

C．(非p)∧q D．p∧(非q)

解析：　根據指數函數的圖象可知p為真命題．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，所以q為假命題，所以非q為真命題．逐項檢驗可知隻有p∧(非q)為真命題．故選D.

[答案]　D

判斷含有一個邏輯聯結詞命題的真假性的步驟

第一步：先判斷命題p與q的真假性，從而得出非p與非q的真假性．

第二步：根據“p∧q”與“p∨q”的真值表進行真假性的判斷．

變式1．設命題p：3≥2，q：函數f(x)＝x＋(x∈R)的最小值為2，則下列命題為假命題的是( )

A．p∨q B．p∨(非q)

C．(非p)∨q D．p∧(非q)

解析：選C.命題p：3≥2是真命題，命題q是假命題，

∴(非p)∨q為假命題，故選C.

變式2．已知命題p：∀x∈R，2x<3x，命題q：∃x∈R，x^2＝2－x，若命題(非p)∧q為真命題，則x的值為( )

A．1 B．－1

C．2 D．－2

解析：選D.∵非p：∃x∈R，2x≥3x，要使(非p)∧q為真，

∴非p與q同時為真．由2x≥3x得≥1，

∴x≤0，由x^2＝2－x得x^2＋x－2＝0，

∴x＝1或x＝－2，又x≤0，

∴x＝－2.

題型二. 含有一個量詞的命題的否定

例2. 命題“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是( )

A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1

C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1

D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

解析：　由特稱命題的否定為全稱命題可知，所求命題的否定為全稱命題，則所求命題的否定為∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1，故選A.

[答案]　A

(1)特稱命題與全稱命題否定的判斷方法：“∃”“∀”相調換，否定結論得命題．對沒有量詞的要結合命題的含義加上量詞，再進行否定；

(2)判定全稱命題“∀x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，隻要在限定集合内至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可．

變式1．命題p：∃x0∈R，x^2＋2x0＋2≤0的否定為( )

A．非p：∃x0∈R，x＋2x0＋2>0

B．非p：∀x∈R，x2＋2x＋2≤0

C．非p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0

D．非p：∃x0∈R，x＋2x0＋2＜0

解析：選C.根據特稱命題的否定形式知非p：∀x∈R，x^2＋2x＋2>0，故選C.

變式2．設命題p：任意兩個等腰三角形都相似，q：∃x0∈R，x0＋|x0|＋2＝0，則下列結論正确的是　( )

A．p∨q為真命題 B．(非p)∧q為真命題

C．p∨(非q)為真命題 D．(非p)∧(非q)為假命題

解析：選C.∵p假，非p真；q假，非q真，

∴p∨q為假，(非p)∧q為假，p∨(非q)為真，(非p)∧(非q)為真，故選C.

題型三. 全稱命題與特稱命題真假性的應用

例3. 已知p：∃x0∈R，mx^2＋1≤0，q：∀x∈R，x^2＋mx＋1＞0，若p∨q為假命題，則實數m的取值範圍是( )

A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，2]

解析：　依題意知，p，q均為假命題．當p是假命題時，mx^2＋1＞0恒成立，則有m≥0；當q是假命題時，則有Δ＝m^2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均為假命題得即m≥2.

[答案]　A

根據全稱與特稱命題的真假性求參數範圍的步驟

第一步：對兩個簡單命題進行真假性判斷．

第二步：根據p∧q為真，則p真q真，p∧q為假，則p與q至少有一個為假，p∨q為真，則p與q至少有一個為真，p∨q為假，則p假q假．

第三步：根據p、q的真假性列出關于參數的關系式，從而求出參數的範圍．

變式1．若命題“存在實數x0，使x^2＋ax0＋1＜0”的否定是真命題，則實數a的取值範圍為( )

A．(－∞，－2] B．[－2，2]

C．(－2，2) D．[2，＋∞)

解析：選B.因為該命題的否定為：“∀x∈R，x^2＋ax＋1≥0”是真命題，則Δ＝a^2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.故實數a的取值範圍是[－2，2]．

變式2．若“∀x∈R，sin x≤m”是真命題，則實數m的範圍為( )

A．[1，＋∞) B．(－∞，1]

C.[-1，＋∞) D．(－∞，-1]

解析：選A.∵∀x∈R，≤sin x≤1.

∴“∀x∈，sin x≤m”為真命題時，m≥1，故選A.

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