閑來無事作習題，看到這樣一道題：

不由地想起一段往事，記得當時也是遇到這樣一道題，學生有好幾種作法，有的選擇點到直線距離求高，有的選擇距離公式求三邊長，再利用海倫秦九韶公式的，有的選擇餘弦定理求出一角的餘弦值，進而求出正弦值，最後算出面積的。因為涉及到計算量大小，有的孩子算對了，有的計算失誤而導緻結果錯誤。

記得當時我選擇的作法是：

這個公式我們并不陌生，小學時就接觸過，譬如說這道題，就有很多學生選擇這一方法求解：

利用兩點之間的距離求出一個底邊長，再利用點到直線距離求出高。

公式2：

這個公式也不陌生，是課本上給出的一個公式。也有部分學生選擇這個公式解決問題：先求出三邊長，在利用餘弦定理求出一角的餘弦值，進而求出這個角的正弦值，最後利用公式求解。

當然我們利用公式2 ，以及正弦定理可以得到以下：

公式3：

公式4：

公式5：

公式6：

公式7：

公式8：

公式9：

公式10：

公式11：

這實際上是著名的秦九韶公式，也叫做三斜求積公式。

秦九韶（字道古，公元1202——1261年），南宋數學家，與李冶、楊輝、朱世傑齊名，同為我國數學黃金時代宋元時期的四大數學家。

秦九韶在其數學巨著《數書九章》卷五中，所述的第二題是：“問沙田一段，有三斜（三角形三邊），其小斜一十三裡，中斜一十四裡，大斜一十五裡，裡法三百步（每300步1裡）。欲知為田幾何？”“答曰：田積三百一十五頃（每100畝為1頃）。”

“術曰：以少廣求之，以小斜幂并大斜幂減中斜幂嗎，餘半之。自乘于上；以小斜幂乘大斜幂減上，餘四約之，為實；一從為隅，開平方得積。”

實際上這裡的三斜可以是任意的邊，也就是我們秦九韶的三斜求積公式。

公式12：

這實際上是秦九韶公式的向量形式。

公式13：

這個就是我們所熟悉的海倫公式。公元1世紀，希臘數學家海倫在其所著《度量論》一書中給出了這一公式。這個公式簡潔、對稱，極具美感，深深揭示數學之美、數學之妙。

當然說法稱這個是海倫秦九韶公式，但是我們知道，秦九韶公式是我們上面提到的公式11，也叫做三斜求積式，這個公式是基于中國人善用的“勾股”思想，因而公式也具有此形式，我們可以稍作推演就會發現海倫公式和秦九韶公式是等價的，所謂英雄所見略同，海倫秦九韶公式的提起也就不算做無緣之木了。

印度數學家婆羅摩笈多在公元7世紀的一部論及天文的著作中，給出了用四邊長來表達圓内接四邊形面積的公式：

這個公式無論從形式上還是内容上似乎都是海倫公式的延拓與推廣，當然，這個公式僅僅适用于圓内接四邊形。

對于一般的四邊形，我們仍有公式：

布列施内德在1842年給出了除四邊形四條邊長再加上兩條對角線長的四邊形面積公式：

也可以看作海倫公式的一種推廣。

公式14：

這個公式展開，和海倫公式展開是一緻的，在這裡就不再證明。

公式15：

當初，小編就是用這個公式讓學生們“瘋狂”的。

公式16：

三階行列式的計算，在前兩天的法向量文章裡已經說明，在這裡不再重複。

三角形的公式蘊含着豐富的數學思想和方法，隻要我們勤于總結，善于思考，就能養成良好的學習習慣，培養學習數學的興趣，提高數學解題的能力。

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