蘊含18個積分的

超級運動方程

自從8歲的表妹放了暑假

每天都在問超模君

有沒有好書推薦

考慮到老少鹹宜、兼備知識性和趣味性。超模君覺得，《三體》這本書，非常适合天賦異禀的8歲表妹。

說起《三體》，超模君回想到，在這本書的第一部當中，玩家通過模拟遊戲，建立各種模型，以解析三體世界裡三顆恒星的運行規律，從中遇到了很多宏偉卻悲壯的景象。

（在三體世界，三顆飛星表示三顆恒星都遠離行星，會出現大嚴寒。）

（在三體世界，三日淩空産生的高溫，足以蒸發行星表面的一切。）

當然還有更恐怖的景象，比如：

（在三體世界，三日連珠指三顆恒星與行星位于同一直線，産生疊加引力。）

（在三體世界，飛星不動是最大的災難，意為行星飛向并墜入恒星。）

（洛希極限：當小天體臨近大天體，會被大天體的引力撕裂，洛希極限為兩者距離的臨界值。）

當遊戲進行到第192關後，玩家們發現絞盡腦汁，也無法解答這三顆恒星的運動規律，隻好得出了三體問題無解這一結論。

其實不僅僅是科幻小說，在現實中，三體問題經過科學家們幾百年前赴後繼的摸索，同樣是一道無解難題。

有關三體問題，超模君還要從老熟人希爾伯特說起……

什麼是三體問題？

1900年，希爾伯特在他著名的演講中，提出了23個困難的數學問題，以及兩個典型的數學案例：一個是鼎鼎有名的費馬猜想，另外一個，恰恰就是N體問題的特例——三體問題。

時過境遷，費馬猜想在二十多年前已經被英國數學家懷爾斯證明，而三體問題卻成為了數學大廈上，一塊揮之不去的烏雲。

三體問題實際上是天體力學中的基本力學模型，探究三個質量、初始位置和初始速度都為任意的可視為質點的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運動規律。

科學家們經過長期研究得出結論，每一個天體在其他兩個天體的萬有引力作用下，運動方程都可以表示成3個二階的常微分方程，或6個一階的常微分方程。

這就顯而易見了，3*3*2=3*6*1=18，至少要有18個積分，才能得到三體問題的完全解。而截至目前，科學家們絞盡腦汁也隻能得到16個積分，三體問題仍是未解之謎。

但是，沒有什麼困難可以讓我們的科學家們輕言放棄。

三體問題的數學推斷

對于三體問題這一龐然大物，科學家們決定采用微分方程的定性理論，來研究長時間内三體運動的宏觀規律和全局性質。

并且嘗試代入數值，計算某一天體在某些時刻的具體位置和速度，具體代數式如下：

根據萬有引力定律和牛頓第二定律，可以得到在三體問題中，作用于其中一個質點Q i的力是：

設 m 為質點的質量；r 為質點的位置矢量； r ij 為兩質點間的距離； F ij 為兩質點間的作用力。

于是，三體問題中Q i的運動微分方程可以寫為：

上式在直角坐标軸中的投影式為：

所以，三體問題中的每個天體在數學中都可以被寫成3個二階常微分方程，共6階，三個天體就是18階。

因為已知積分不足以解決三體問題，所以科學家們的研究方向，就是如何去簡化數學式了。

著名數學家布倫斯和龐加萊曾證明n體問題隻有10個運動積分，即3個動量積分，3個關于質心運動的積分，3個動量矩積分和1個能量積分，而且它們都是代數式。

應用這10個積分可将三體問題的18階方程降低到8階，再用“消去時間法”降低到7階，又用“消去節線法”降低到6階。如為平面三體問題則可降為4階。

不過，消除了運動積分和時間、結線、維度的三體問題，隻能被稱為“理想狀态”下的三體問題。

若想要解決完整的三體問題，所有的積分和條件就都需要考慮進來了，“理想狀态”下的三體問題，隻是給完整的三體問題指了一條明路。

三體問題的研究成果

在三體問題被提出後的兩百年間，幾乎所有18、19世紀的著名數學家都嘗試過去求解，但研究進展微乎其微，直到希爾伯特那次著名的演講，才終于有了突破。

這次三體問題的突破，主要是發現了三體運動的三種特殊情況，在這三種特殊情況下，三體問題具有特解。

1.拉格朗日-歐拉族：三星成三角形,圍繞三角形中心旋轉；

2.布魯克-赫農族：兩顆星圍繞第三顆星旋轉；

3. 8字型族：三個等質量的物體在一條8字形軌道上運動。

但同樣，這也屬于“理想狀态”下三體問題的範疇，為了更直觀解決三體問題，後來的科學家們還提出了“限制性三體問題”：

在限制性三體問題的條件下，三體運動已經是對實際物理簡化得很厲害了，比如說對質點，球體自轉、形狀這些因素統統不考慮。

然而無論怎麼變化，牛頓、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、龐加萊等等大師們，為這個問題窮盡精力，也未能将它攻克。

科學發展到現在，三體問題的求解過程真的是一部令人心酸的簡化史。

雖然三體問題沒有被最終攻克，但科學家們在研究過程中，取得了非常有用的成果。

1772年，拉格朗日在“平面限制性三體問題”的條件下找到了五組特解，從而發現了沿用至今的“拉格朗日點”。

（地月拉格朗日點：L1、L2、L3、L4、L5）

當小天體位于兩個大天體的拉格朗日點附近時，小天體可以基本保持靜止，按照拉格朗日的推論，每一個雙星系統共有五個拉格朗日點，其中隻有兩個是穩定的。

兩個穩定點L4、L5與兩個天體所在的點，構成一個等邊三角形。五個拉格朗日點的計算公式如下：

正是因為拉格朗日點具有較好的穩定性，所以它的應用很是廣泛，像NASA的月球空間站，就建立在地月的拉格朗日點。

而且，運用拉格朗日點來設計行星間的轉移軌道，可以使宇宙探測器、飛船更加安全、平穩的在軌道上運行。

雖然三體問題仍未被完全解答，但是，科學家們一直保持着前進的腳步。

1993年，塞爾維亞物理學家米洛萬·舒瓦科夫和迪米特拉·什諾維奇發現了三體運動方程中新的13組特解。

加上前面所說的3組特解，三體問題特解的族數一下擴充到了16組，這對人們研究太空火箭軌道和雙星演化，都有很大的幫助。

時至今日，科學界對三體問題的研究，以及對其衍生出的應用的發掘，仍步履不停、滾滾向前。

三體問題無解析解

說了這麼多，想必大家也已經達成了共識：三體問題真的無解。

三體問題之所以無解，除了前文說到的缺少積分之外，更重要的是：三體系統在空間中的分布可以有無窮多種情況，通常情況下是非周期性的。

冗長的宇宙時間還會通過蝴蝶效應，把初始的微小誤差無限放大，産生所謂的“混沌現象”。

（與雙星系統相比，三體系統的複雜程度可見一斑）

混沌現象其實普遍存在于我們的生活當中，比如端流問題、氣象或地震預測、洋流跟蹤、微觀粒子運動、病毒擴散等等……

這類現象不能産生規律性的答案，無法用解析式表達出來，我們常說的“三體問題無解”，準确地來說其實就是無解析解。

最後，借用《三體》小說中數學家魏成的話：三體問題若想真正解決，是建立一種數學模型，使得在已知任何一個時間斷面的初始運動矢量，都能夠精确預測三體系統以後所有的運動狀态。

所以說，想要在不遠的未來解決三體問題的話，就要從現在開始，每天跟超模君一起，好好學數學……

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