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帶着問題學習數學

作者：朱善軍

作品編号：007

投稿時間：2020.6.9

數學是人們從小到大就開始學習的一門學科，其古老的曆史成就了它非凡的意義。從古代先賢利用數字為物品計數開始，直到今天數學在現代化進程中占據的不可或缺的位置，在這漫漫的曆史長河中，數學似乎一直在向人們展現出自身的獨特魅力。毫無疑問的是，數學已經完全融入進我們的日常生活中。無論是智能手機中信号傳輸需要用到傅裡葉變換，還是人工智能用到矩陣論和優化理論，諸如此例無一不顯現出數學在科技發展中所起到的基礎性作用。顯然，數學在當代社會中所起到的貢獻有目共睹，然而令人感到驚訝的是，人們似乎對數學原理的認知還停留在表面上。

在大多數人的心目中，數學是一些定義或者定理的 “雜亂”堆砌。究其原因，一方面是由于現今的不少教科書寫作上欠缺考慮，不太将一些定義或定理的來龍去脈以及數學結果中的聯系表達出來，給讀者造成一種随意堆砌結論的錯覺；而另一方面，由于數學在現今各個領域内都大展拳腳，以至于細化到某一領域方向的人們誤以為數學是碎片化的，他們常常認為自己要學習或研究的方向裡用到的都是一些零碎的數學結論。這樣的現象，其實放到專門學習數學的學生身上也是不例外的。至少從筆者自身求學經曆來看，這樣的說法似乎一點都不誇張。

筆者在本科期間自學《泛函分析》課程(見圖 1)時，曾有一系列的讀書感悟。譬如，有下列一些感悟：

• 為何教科書中的定理之間具有一定的因果關系呢？

• 定理似乎不再是幹巴巴地闡述某個結論，而更像是在回答一系列的問題？

• 泛函分析中不少結論借鑒于線性代數的内容，這種從有限維線性空間“遷移”到無窮維線性空間是否合理呢？

不似第三條感悟那麼具體，前兩個感悟放之其他數學課程也皆準。帶着這些疑問學習泛函分析課程，筆者逐漸意識到泛函分析似乎也是在解決一系列與泛函和算子有關的一些問題，于是筆者後期寫了一篇自己的讀書筆記《帶着問題看泛函分析》。

從泛函分析的學習作為開端，筆者開始有意帶着問題學習其他數學高深課程。此外，筆者也開始逐漸回顧和反思先前修讀的一些數學課程，才驚覺原來數學并不是孤零零的一些結果的呈現，相反是一門典型的問題驅動類型的學科。相信這與絕大多數人的固有看法相悖，或許這隻能歸咎于現如今的數學課太過于看重結果傳授而忽視思想教學。

為了能夠更好地闡述數學具有典型的問題驅動特點，筆者從以下一些基本的曆史事實出發展開探讨。

從初高中階段開始，一元一次方程與一元二次方程的求根公式便是大多數厭惡數學的朋友們心中的噩夢。前者的解法是極其簡單的，但是後者似乎從技巧上開始有所創新。求解一元二次方程，我們非常喜歡用“配方法”作為解決問題的工具，甚至這一工具放在線性代數中一般二次型化為标準型問題上也是很有效的。一元二次方程的解法令不少人頭疼，甚至到了高中階段仍然要時不時面對，然而簡單的一元二次方程的解法其實早已在兩千多年前就已經得到了解決。随後經過不少數學家的艱苦努力，人們逐漸能夠将一些具有實數根的一元二次方程的解法摸索清楚。随着研究不斷向前推進，一些困難問題逐漸顯露出來，比如：

• 的解并不是實數，我們該如何研究它呢？

• 即便是一元二次方程的求根公式已經知曉，如何得到一元三次乃至更高次方程的根式解呢？

針對前一個問題，我們後來知道數學家笛卡爾創立虛數這個名詞，而後 18 世紀的大數學家歐拉開始使用符号 i 表示虛數的單位。從虛數開創以來，不少人認為其在自然界中虛無缥缈，沒有任何實際的意義。然而，歐拉引進這個符号後巧妙地建立起來虛數單位 i 與其餘四個具有特定意義實數之間關系，即所謂的歐拉公式：e^iπ 1=0。歐拉公式至今仍被人們贊譽為是世界上最優美的數學公式，其優美之處或許是上帝賦予的。除此之外，當數學界内部不僅僅研究實數時，人們自然關心複數世界的個中奧妙。大學理工科學生所學習的高等數學課程，可以說是針對實變量函數的微積分，如果将所考慮的函數擴充為複變量函數，那麼所要研究的微積分也就針對所謂的解析函數了。很明顯，微積分初創到現今已經有三四百年時間之久，考慮帶有虛數單位 i 的分析學——複分析也已經成為當今一大重要數學分支。從某種角度來說，這也是歐拉着重應用 i 的一個結果。

從縱向角度出發，一元高次方程的解法是數學史發展的必然選擇。在那個信息還不那麼發達的 16 世紀，就已經有人獨立地找到了一元三次方程的求根公式。起初發現公式的那個人（後世稱該人為“塔塔利亞”）在舉辦的一系列數學比賽中大獲全勝。然而令人感到遺憾的是，塔塔利亞一時糊塗沒有意識到發表重大成果的重要性。後來 “投機者”将這一解法公諸于衆，由此一元三次方程的解法才得見人間。不像一元二次方程與一元三次方程解法面世時間間隔那麼久，在得到一元三次方程求根公式不久後，人們逐漸得到一元四次方程的求根公式。滿是好奇心的數學家們，以為一元五次方程的解法也可以很快得到，然而讓他們感到失望的是，他們隻能得到比較簡單的五次方程的根式解。這一艱難問題驅使着數學家們前赴後繼地耕耘于此，當中所遭遇的失敗和辛酸或許隻有他們自己才能體會到。在攻克該問題的過程中，有部分數學家發展了一套“群論”的工具。這當中的代表有窮困潦倒的阿貝爾以及據說因為愛情死于非命的伽羅瓦。阿貝爾與伽羅瓦的共同特征之一是他們都英年早逝，或許是因為他們揭開了上帝隐藏起來的秘密。上帝的秘密就是：一元高次方程是否有根式解問題，可以巧妙地轉化為該方程的 Galois 群是否是可解群的問題。天才的伽羅瓦憑借着自己的一腔激情，創建了所謂的伽羅瓦理論，而一元高次方程的根式解問題不過是該理論中的一個應用。

一個不争的事實是，20 世紀的數學成果噴湧般地湧現。在這樣一個數學界各個分支百花齊放的世紀裡，人們不得不思考這一切是否都是有規可循的。在 19 世紀末與 20 世紀初的世紀之交，被譽為“數學界的無冕之王”的希爾伯特開始有了一些獨特想法，其中一個想法是：讨論一下未來數學發展的方向。實際上，讨論數學發展前景并不是一件容易的事，這或許隻有當時的大數學家希爾伯特才有這樣的能力。著名物理學家費裡曼·戴森曾将數學家分為“飛鳥”和“青蛙”兩種類别(見圖 2)，飛鳥者俯瞰數學寬廣外貌，青蛙者探索特點問題細節。從這個角度出發，希爾伯特似乎更像是數學飛鳥。

23 個數學問題的提出顯然需要很長時間準備，這對于希爾伯特而言無疑是一個不小的挑戰。事實上，提出問題本身要比解決問題更加困難。當我們在惆怅希爾伯特的 23 個數學問題困難之大的同時，也應當贊歎“全能型”數學家希爾伯特的英明神武。這些問題的解決也許要借助一些新的理論，有的或許可以刺激一門學科的發展。後者正像數學史上的一些著名問題一樣，比如最速降落線問題就是現代數學分支變分法的起源。

這些數學問題一經提出後，不少數學家開始将解決希爾伯特 23 個問題作為自己一生的奮鬥目标。其中不乏頗有名氣的數學家，比如撰寫過俄羅斯數學教材《常微分方程》的龐特裡亞金，奧地利數學家哥德爾和德國數學家阿廷(Emil Artin)等。非常值得一提的是，龐特裡亞金即便雙目失明也仍然在數學領域中勤奮勞作，這等刻苦精神很值得我們學習效仿。甚至可以說，被譽為數學界諾貝爾獎的菲爾茲獎獲得者當中也有不少是因為在這些問題中做出突破而奪得桂冠的。因此，可以想見，希爾伯特在 1900 年國際數學家大會上所提出的問題多麼深刻，激發了衆多數學家的聰明才智。

距離 1900 年已過去百年有餘，然希爾伯特所提出的問題仍然鼓舞着我們繼續前行。同時，新時代也會不斷誕生出新的問題，這些問題同樣也在為我們的艱苦努力提供源源不斷的動力。數學中的結果似乎從來都不是顯然得到的，它們的背後蘊藏着無數數學家奮鬥的結晶。當我們這些數學“後浪”們在享受“前浪”所創造出的優美結果之前，是不是應該思考一下，應當如何帶着問題學習數學呢？

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