關于超窮理論的内容，我分成上中下三部分，第一部分講“數學曆史"，第二部分将"無窮大基本概念",第三部分講“超窮理論”，喜歡的讀者朋友們，可以根據自己的喜好選擇其閱讀内容。

上篇我們講到康托爾在他老師去世後，他的論文發表不再受到阻礙，許多重要概念接踵而至地得到發表，要理解那些概念，我們需要“裝備”一些知識才行。

我們先來看看無窮大的“主觀”定義：形容沒有窮盡，沒有止境，無量無限。

無窮大符号

在數學中，我們很容易找到無窮大的例子：整數個數，平方數個數，實數個數……，這裡可能會有人要停頓了，按照局部和整體的關系，平方數是整數的一部分，但兩個都是無窮大，是否有點說不過去！——是的，在無窮當中，“整體大于局部”的常識不再成立。

歐拉常數γ

這是高等數學中一個非常出名的常數，γ常數頻繁出現在高等微積分中，但它的定義特别有趣，是調和級數和對數函數“差的極限”，也就是說調和級數和對數函數的圖像最後居然趨近于“平行”，我們知道調和級數的值是可以取到無窮大的，對數函數也是，那我們能認為這裡面∞－∞＝0.5772……嗎？

當然不行，解決這個困境的辦法，就是不能把無窮大當做數，來參與“常規”運算，因為這裡的無窮隻是趨近方式，當然，你用任何一個條件收斂級數，也可以得到同樣的結果。

我們這裡對無窮的處理方式比較特殊，其實，類似的技巧在數學中廣泛地使用，比如射影幾何當中，有條非常優美，而且非常強大的原理叫對偶原理：在射影平面上，如果在一個射影定理中把點與直線的觀念對調，即把點改成直線，把直線改成點，把點的共線關系改成直線的共點關系，所得的命題仍然成立。

對偶性

比如命題：兩條直線必定相交于一點。

對偶命題：過兩點隻能做一條直線。

然而這條原理有個前提，就是我們必須把平面内的平行線，假設在無限遠處相交，否則該原理存在衆多特例将會崩潰。平行線在無限遠處相交？不就是不相交嘛——沒錯，描述不同，但是這樣修改的意義非常大，一旦我們默認這條描述，這個定理将推廣到n維幾何當中成立，而且沒有例外。如果沒有對偶原理，某些證明将會變得異常艱難，而且該原理存在于各個領域，物理學中，邏輯學，離散數學中……

既然如此，為何我們不接受這種平行線相交于無窮遠的描述呢，這裡的無窮大不是數，也是我們采用了這種處理辦法，一旦我們采用這種方式，那麼無窮大的衆多矛盾就突然消失了。

如果你還把無窮大當做一個數，那說明你的數理水平，還停留在第二次數學危機解決之前。

第二次數學危機

那麼，對于整數個數，實數個數這些無窮大，我們真的就無法區分了嗎？？？換句話說：這些無窮大是一樣的嗎？？？

康托爾告訴我們——當然不是，不然我們還研究它做什麼！

康托爾

首先，我們認為兩個事物是一樣的，是如何判斷的呢？

我們可以找它的相同點，如果都具有一樣的性質他們就是一樣的；我們還可以找它們的不同點，如果也具有一樣的不同點性質，那麼也可以判斷它們是一樣的。

康托爾的研究，也是基于這個思路！

那麼我們怎麼去找無窮之間的不同呢？首先是生成方式，比如整數個數和平方數個數生成的無窮，生成方式就存在區别，不過這點我們研究了也沒有用，因為除此之外我們得不到無窮的任何信息。

但是！！！數學中有個極強的用于比較的工具——射映！概念我無需解釋，大家利用高中知識就能明白，因為高中時我們用得可多了！

線段射映

我舉幾個例子：1→1，2→4，3→9，4→16……，這是正整數一一對應平方數的辦法。

利用同樣的的方法，我們能舉出更多例子，有人會說，這不就是函數嘛，沒錯，就是函數，但這裡的射映，不再限制自變量的個數和性質。

射映是個非常好的概念，因為它将帶我們揭示不同無窮大之間的差異，所以對射映的理解，決定了你是否能理解不同無窮大之間的區别。

在下篇中，我們将帶你去看看，康托爾的超窮理論将給我們帶來哪些驚喜！

好啦！關于無窮大的基本概念，我們就介紹到這裡，喜歡我們的讀者朋友，可以點擊關注我們，也給我們留言。

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