一、發文目的

本文主要闡述素數的概念，以通俗易懂的方式形象的描述素數和合數究竟代表什麼意思，以及找到一種方法能夠求得給定的數值範圍内的素數。

二、文章大綱

1，素數的概念

2，素數的形象的理解

3，什麼是合數

4，為什麼1不是素數

5，如何求給定範圍内的素數

6，一個Python求素數的例子

素數又稱質數，英文名稱是Prime number。

三、文章内容

關于素數，也叫質數，從字面意思可以想象，這種數有着基本，本質，原子的意思，也就是說，這種數是不能夠再拆分的，是一個基本的，獨立的原子個體。素數的定義是指在除了1和此整數本身外,不能被其他自然數整除的數（1除外）。

可以想象，有一堆蘋果，n個。假設蘋果是不可切割的，現在需要你去給這堆蘋果等份分給若幹人。

有兩種可能的結果，一種是可以再分成若幹等份；一種是不能夠再分了，蘋果保存原樣的一堆。

針對第二種情況（保持原樣，不能再分），這堆蘋果可以看成下面兩種情形：

A，以單個蘋果為一個個體，可以分成n個人，1(個)*n(人)

B，以n個蘋果為一個整體，可以分給1個人，n(個)*1(人)；

回到數的範疇，也就是說，如果一個整數n，隻能被1或者自己整除，也就是說整數n隻能表示為n=1*n，或者n=n*1的形式，即不能分成其他形式的等份了，那麼這個數就叫做素數。

形象的理解為：一堆蘋果，還是原來的那堆蘋果，沒有改變。

接着上面素數的概念，相反的情況，如果一堆蘋果可以再分成n=a*b的形式（a,b不等于1或者n），那麼就稱n為合數。合數這個詞，本身也代表了本身是可以由幾個數合在一起的意思。

也以蘋果為例，假設這堆蘋果是15個，除了本身15這種狀态之外，也可以分成3個一堆，共5堆（3*5）或者5個一堆，共3堆（5*3）這兩種狀态。即15不單單隻能表示為15*1或者1*15，還可以表示成3*5或者5*3。也就是說，15除了被1和自己整除外，還可以被3或者5整除。

其實，如果從本質的概念來說，1也可以稱為素數，這個從上面的例子就可以看出。

之所以現在不能将1看成素數，原因在于，如果将1看成素數了，那麼會使得合數的概念不統一。

合數，從上面第3點的分析，可以知道，合數n可以表示為n=a*b的形式（這裡的a,b不等于1或者n）。

既然n=a*b，那麼a,b有兩種狀态，要麼是素數，要麼是合數。why?

因為，數本身就隻有這兩種狀态：要麼隻能被1或者本身整除，要麼除此之外還能被其他數整除。因此，a,b這兩個數可能是素數，可能是合數。

現在，我想對a,b做如下操作：如果是素數，則保持不變；如果是合數，那麼繼續分解為兩個數的乘積的形式。

這樣，一直持續操作下去，n=a*b，最終會以n=p1*p2*p3...的形式呈現（其中，p1,p2,p3...都是素數）。即一個合數，最終都會以素數的乘積表示。

現在回到本題的疑問，為什麼1不是素數？

因為：1由于本身的特殊性（任意個1相乘還是1），導緻一個合數n=p1*p2*p3，會有無數個表示式。即合數n，可以表示為：

n=p1*p2*p3

n=p1*p2*p3*1

n=p1*p2*p3*1*1

n=p1*p2*p3*1*1*1

......

所以，為了達到合數的表達式的唯一性，就人為的将1排除在了素數之外。

到這裡，已經知道了素數和合數。那麼如果想要求某個給定的數範圍内的素數有哪些，應該怎麼求。

比如，如何求10以内的素數？

根據常識，可以容易的想到10以内的素數有：2,3,5,7

如果不是10，而是100以内的素數呢？

難道是依次的去數，2,3,5,7,11,13,17,19...

如果不是100，而是1000以内的素數呢？

看來人為的靠自己的理解去數，會把自己數暈，不是解決問題的根本方法。

那麼應該怎麼去解決？

我認為，還是得從素數的概念入手：隻能被1和自己本身整除的數。

也就是說，除了1和本身，不能被其他數整除的數。或者說，隻要找到了一個能夠被1和本身之外的數整除，那麼就可以判定這個數就不是素數。

下面的目标，就是努力去找到這樣的數。

先想一下不是素數的數是什麼數？答案很明顯，就是合數。合數有什麼性質？合數可以表示為若幹個素數的乘積。

既然是要求n以内的素數，那麼肯定n以内的素數一定是在n以内；n以内的合數也是在n以内。n以内的合數可以表示為若幹個素數的乘積，這裡的素數也肯定是在n以内。

那麼可以确定的知道n以内的某個合數必會至少能夠被n以内的一個素數整除。如果能夠找到這樣的能夠被n以内的合數整除的最大的素數K，那麼就可以得到這樣一組素數集（從2開始，最大值是K），将n以内的整數，依次與這組素數中的素數進行求餘運算，根據求餘結果是否是0，來判斷整數是否是合數。即求餘的結果不是0的整數就是素數了。

下面的問題是：已知整數範圍n，如何求得能夠被n以内的合數整除的最大的素數？

還是從合數的概念出發，一個合數必然可以表示為若幹個素數的乘積。

至于合數分解成的素數的個數多少，這個就不确定了，可能是2個，也可能是3個，或者更多。

下面先給出一個結論：

假設一個合數M可以分解為3個素數的乘積，M=X1*X2*X3（X1<=X2<=X3），那麼對M進行開3次方根，得到的結果取整數為I，I必然介于M的素數的中間，即I>=X1且I<=X3。以整數I内的素數構成一個素數集合G，那麼G中必然存在素數X1；合數M越大，那麼得到的I就越大，因而構成的素數集合G中的最大的素數也越大。設想，要使得找到最大的素數，那麼必然要找到最大的I。在合數M最大的情況下，開方根次數越小，則此時找到的I才是最大的。那麼開方次數最小是多少呢？顯然就是開2次方根時（雖然開1次方根時，I最大，但此時的M就不是合數，而是素數了）。

那麼，現在知道了，如何求一個給定的整數範圍内的素數方法了：

1. 首先，對給定的整數，求平方根，得到I1（取整數）；
2. 然後，找到I1範圍内的所有的素數，構成一個集合G
3. 接着，依次将給定的整數範圍内的整數，對集合G的素數，依次取模，若結果是0，那麼說明這個整數是合數，則排除之；否則就是素數，保留；
4. 以上收集的素數就是給定的整數範圍内的所有的素數。

根據上面讨論的方法，現在用Python實現一個程序來求給定的整數範圍内的素數。

Python實現的代碼（求給定整數範圍内的素數）

驗證結果：

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