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八年級的同學學習了三角形的知識，由于等腰三角形有豐富的性質，這些性質為我們解幾何題提供了新的理論依據，所以尋找發現等腰三角形是解一些幾何題的關鍵，判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是：

從定義人手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等，

實際解題中的一個常用技巧是，構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質為解題服務，常用的構造方法有：

⑴“角平分線 平行線”構造等腰三角形；

⑵“角平分線 垂線”構造等腰三角形；

⑶用“垂直平分線”構适等腰三角形；

⑷用“三角形中角的2倍關系”構造等腰三角形。

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD丄AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F.

⑴ 求證：CE=CF；

⑵ 将圖1中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使點E'落在BC邊上，其他條件不變，如圖2，求證：A'E'是∠CE'D'的角平分線；

⑶試猜想：BE'與CF有怎樣的數量關系?請證明你的結論。

⑴ 根據角平分線的定義可得∠1=∠2，再根據等角的餘角相等求出∠CFE=∠AED,然後根據對頂角相等可得∠CEF=∠AED,從而得到∠CEF=∠CFE，再根據等角對等邊證明即可；

⑵ 根據平移的性質得∠ME'D'=∠AED,AE'∥AE,再根據兩直線平行，同位角相等可得∠CFE=∠AEF，然後求出∠AED'=∠ANEF,根據角平分線的定義證明即可；

⑶ 根據平移的性質可得∠2=∠3，AE=AE'，求出∠1=∠3，再根據等角的餘角相等求出∠B=∠4，再利用“角角邊”證明△ACE和△A'BE'全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE'=CE，從而得到BE'=CF。

證明：⑴ ∵AF平分∠CAB，

∴∠1=∠2，

∵∠ACB=90°，CD丄AB，

∴∠1 ∠CFE=90°,∠2 ∠AED=90°，

∴∠CFE=∠AED,

∵∠CEF=∠AED(對頂角相等），

∴∠CEF=∠CFE,

∴CE=CF；

⑵∵△ADE沿AB向右平移得到△A'D'E',

∴∠A'E'D'=∠AED，A'E'//AE，

∴∠CFE=∠A'E'F，

∵∠CFE=∠AED，

∴∠A'E'D'=∠A'E'F，

∴A'E'是∠CE'D'的角平分線；

⑶ 由平移的性質得:∠2=∠3，AE=A'E'，

∴∠1=∠3，

∵∠ACB=90°，CD丄AB,

∴∠4 ∠BAC=90°,∠B ∠BAC=90°，

∴∠B=∠4，

在△ACE和△A'BE’中，

∠1=∠3，∠B=∠4，AE=A'E

∴△ACE≌△A'BE'(AAS)，

∴BE'=CE，

∵CE=CF，

∴BE'=CF。

①平移前後的兩個圖形大小、形狀完全相同，

隻改變圖形的位置；

②圖形上的每個點都平移了相同的距離，對應

點之間的距離就是平移的距離；各組對應點連成的線段平行(或在同一直線上)且相等。

上述例題根據三角形的角平分線的性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的性質與判定，平移的性質，考點頗多，雖然隻是考查三角形的内容，但是通過練習，可以提高幾何解題思維和綜合運用知識的能力。

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