在今天中小學的“數學”學習中，“數形結合”是極為重要的思想方法。當我們回顧人類的數學發展史，會發現“數”與“形”的此消彼長，堪稱一部起伏跌宕、危機四伏的傳奇，數學史上發生的三次“數學危機”都與此相關。這到底是怎麼回事呢？還得從遙遠的“芝諾悖論”說起。

在“芝諾悖論”中，阿基裡斯是古希臘最擅長奔跑的英雄，雖然在現實中阿基裡斯很快就能追上烏龜，但在邏輯中卻永遠追不上烏龜。這個“悖論”揭示出了一個非常嚴重的問題，那就是警告人們：在我們探索未知世界的時候，有可能會遇到這樣的情況：某些在邏輯上看起來無懈可擊的問題，卻有可能完全與事實不符。

這些擔心并不是多餘的，當我們回顧人類數學的發展史，這樣的情況一直在發生着，特别是三次“數學危機”的爆發都與此相關。

為了解決這些問題，“數形結合”成為了極為有力的“思想方法”。但這一“思想方法”在漫長的發展過程中，卻一直有着厚此薄彼的傾向：要麼是“重數輕形”，要麼是“重形輕數”。

在“第一次數學危機”爆發之前，“重數輕形”的思潮達到了無以複加的地步，當時的“畢達哥拉斯學派”所提出來的“萬物皆數（有理數）”的理論認為，這個世界隻需用“整數”或者“整數之比”就可以完整地描述出來。畢達哥拉斯學派對“數”進行了瘋狂的崇拜，将其視為至高無上的信條，凡是對此有質疑的信徒，都将受到嚴厲的懲罰。這個時期的“數”，占據着絕對的統治地位，而“形”隻是作為“數”的依附而存在。

然而不久之後便發生了戲劇性的一幕：畢達哥拉斯的學生希帕索斯意外地發現，邊長為“1”的“正方形”的“對角線”無法用“整數”來表示——新的數“根号2”被發現了。這一發現動搖了畢達哥拉斯學派在學術上的統治地位，希帕索斯因此被抛入大海，獻出了寶貴的生命。

希帕索斯用他的生命喚起了人們對“數學”的重新思考，各種新的思想在那個遙遠的時空激烈碰撞着，閃爍着耀眼的火花，“第一次數學危機”爆發了。

在這次危機中，以“畢達哥拉斯學派”的“萬物皆數（有理數）”為基礎的“理論體系”被推翻了，新的“理論體系”開始重建。

“第一次數學危機”使數學家們發現了“有理數系”的缺陷，也意識到了以“數”作為主導來研究“數學”可能會遺漏一些重要的東西，人們開始普遍認為以“幾何”為主導來研究“數學”才是最可靠的，“重形輕數”的思想開始崛起。

但是，“重形輕數”的思想很快導緻了不好的後果：雖然人們在“第一次數學危機”中已經意識到了“實數系”的存在，并且已經提出了“算術連續統”的設想，卻最終因為擔心它的“不嚴密性”而放棄了對“實數系”的研究，在之後上千年的時間裡，“幾何”一直占據着“統治地位”，“算術”一直是依附于“幾何”的存在，在“算術”研究幾乎陷于停滞了上千年的同時，對“幾何學”的研究熱情卻空前高漲。

正是在這樣的背景下，一部具有劃時代意義的史詩級巨著《幾何原本》橫空出世，在遙遠人類文明的夜空，綻放出奪目的光芒。

《幾何原本》的偉大之處在于它建立了人類數學史上的第一個“公理化體系”，該書從五大“公理”開始，用邏輯推理的方法得到“定理”，通過嚴密的層層推導，将整個“幾何學”構建成了龐大而又清晰的“邏輯體系”。它包括了今天中小學幾何部分的全部内容，甚至産生了“微積分”思想的萌芽。《幾何原本》從根本上改變了人們認識大自然的方法，由之前的“直覺經驗”轉向了“證明推理”，推動了“公理幾何學”與“邏輯學”的發展，對以後2000多年數學的發展産生了深遠的影響。

曆史上無數的科學巨匠都從《幾何原本》中汲取過無窮的智慧。特别是牛頓，他的考官巴羅博士曾提醒他，由于他的幾何基礎知識過于薄弱，将來無論如何用功都很難有所成就。深受打擊的牛頓在夜店裡意外地買到了《幾何原本》，他反複地學習和研究，最終獲得了偉大的成就。

明代數學家徐光啟也給予《幾何原本》極高的評價：“每一個人都應該好好地學習《幾何原本》，隻要把這本書學通了，那麼這世界上再也沒有不能精通的事了。”

然而，當人們興高采烈地滿足于《幾何原本》帶來的豐富成果時，卻忽略了同等重要的“實數理論”的研究，這種“重形輕數”思想所帶來的弊端，在漫長的歲月裡慢慢地積累着，為“第二次數學危機”埋下了導火索。

在“第二次數學危機”發生之前的17、18世紀，牛頓和萊布尼茨分别獨立地發明了偉大的微積分，為人類科技的發展注入了全新的血液。由于牛頓和萊布尼茨那個時代的數學家們都深受《幾何原本》的影響，重“形”輕“數”的“思想方法”在他們的腦海中根深蒂固，對“實數理論”的認識還停留在一千年以前的空白狀态。

當新生的“微積分”廣泛地應用于各個領域顯示出巨大的威力的時候，人們急切地開創新的領域而忽略了“微積分”的基礎建設。

随着時間的推移，“微積分”基礎中的邏輯問題漸漸地顯露了出來，其中最為關鍵問題就是“無窮小量”究竟是不是“零”？然而無論答案為肯定還是否定，都将導緻矛盾。人們在使用的過程中也顯得極為混亂，有時把“無窮小量”當作“不為零的有限量”，将其從“等式兩端”消去，而有時卻又将“無窮小量”當作“零”，将它忽略不計。這些問題，實際上就是與“實數理論”相關的問題，也是“重形輕數”所導緻的後果。

英國大主教貝克萊出于對科學的厭惡和對宗教的維護，抓住當時“微積分”和“無窮小方法”中的一些不合邏輯的問題，對“微積分”發起了猛烈的抨擊，新生的“微積分”大廈搖搖欲墜。

為了挽救近代數學史上最偉大的成果，全世界的數學家行動了起來，開始了對“微積分”基礎的“嚴格化”建設。然而最為急切要解決的問題便是“實數理論”中關于“連續”的定義。而要解決“實數”中的“連續”問題，就必然徹底解決“無窮小量”的問題。

“無窮小量”就像一匹脫缰的野馬在數學的荒原上無羁地馳騁着，最終由柯西給它套上了缰繩：柯西用“極限”的方法定義了“無窮小量”。

為了徹底解決“微積分”的底層邏輯問題，19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了“實數理論”，在“實數理論”的基礎上，又建立起了“極限論”的基本定理，從而使“數學分析”建立在“實數理論”的嚴格基礎之上。也是在這一時期，現代數學的基礎理論“集合論”開始由康托爾獨立創立，并且滲透到了各個數學分支的基礎之中。

“微積分”經過“第二次數學危機”的洗禮，填充了“數”與“形”長達千年的溝壑，使得其基礎已變得十分健全，接下來的“微積分”很快得到了更為迅猛發展和廣泛應用，在各個科技領域中大顯身手，解決了大量的數學問題、物理問題、天文問題，大大推進了“工業革命”的發展，成為了18世紀“數學世界”的“霸主”。

正當人們高奏凱歌，聲稱已經解決了“數學世界”的所有問題的時候，新的問題又出現了：數學家羅素提出了著名的“羅素悖論”，新生的“集合論”受到了激烈的抨擊，以“集合論”為基礎的“近代數學廈”步入崩潰的邊緣，“第三次數學危機”暴發了。

數學家們為了解決“第三次數學危機”中，參照《幾何原本》的“公理化體系”，将“實數”的某些“獨立性質”列出來作為“公理”，然後進行層層推導，為“集合論”構建成了一個完整的“公理化系統”，最終完滿地解決了“第三次數學危機”。這又是一次“數”與“形”的思想方法碰撞後所産生的思想火花，照亮了數學向前發展的康莊大道。

回顧人類數學史的艱難發展過程，“數”與“形”的地位是同等重要的，二者的思想方法交相輝映，相互滲透，缺一不可，一起推動着數學不斷地向前發展。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!