1. 不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定義：a-b>0<=>a>b;a-b=0<=>a=b;a-b<0<=>a<b.

（2） 不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.

（3） 同向不等式與異向不等式.

（4） 同解不等式與不等式的同解變形.

2.不等式的基本性質

（1）a>b<=>b<a（對稱性）

（2）a>b,b>c=>a>c（傳遞性）

（3）a>b=>a c>b c（加法單調性）

（4）a>b,c>d=>a c>b d（同向不等式相加）

（5）a>b,c<d=>a-c>b-d（異向不等式相減）

（6）a>b,c>0=>ac>bc

（7）a>b,c<0=>ac>bd（乘法單調性）

（8）a>b>0,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）

(9)a>b>0,0<c<d=>a/v<b/d（異向不等式相除）

(10)a>b,ab>0=>1/a<1/b（倒數關系）

（11）a>b>0=>aⁿ>bⁿ(n∈Z,且n>1)（平方法則）

（12）a>b>0=>ⁿ√a>ⁿ√b(n∈Z,且n>1（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若a∈R,則|a|≧0,a²≧0

（2）若a、b∈R ,則a² b²≥2ab(或a² b²≥2|ab|≥2ab)（當僅當a=b時取等号）

（3）如果a,b都是正數，那麼 √(ab)≤(a b)/2（當僅當a=b時取等号）

極值定理：若x,y∈R ,x y=S,xy=P則：

1如果P是定值, 那麼當x=y時，S的值最小；

2如果S是定值, 那麼當x=y時，P的值最大.

利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c∈R ,則(a b c)/3≥³ √(abc)（當僅當a=b=c時取等号）

(5)若ab>0,則b/a a/b≥2（當僅當a=b時取等号）

(6)a<0時，|x|>a<=>x²>a²<=>x<-a或x>a;|x|<a<=>x²<a²<=>-a<x<a

（7）若a、b∈R,則||a|-|b||≤|a±b|≦|a| |b|

4.幾個著名不等式

（1）平均不等式： 如果a,b都是正數，那麼 2/(1/a 1/b)≦√(ab)≦(a b)/2≦√[(a² b²)/2]（當僅當a=b時取等号）即：平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b為正數）：

特别地，ab≤[(a b)/2]²≤(a² b²)/2（當a = b時，[(a b)/2]²=(a² b²)/2=ab）

(a² b² c²)/3≥[(a b c)/2]²(a,b,c∈R,a=b=c時取等)

=>幂平均不等式：a₁² a₂² .... an²≥1/n(a₁ a₂ .... an)²

注：例如：(ac bd)²≤(a² b²)(c² d²).

常用不等式的放縮法：①1/n-1/(n 1)=1/n(n 1)<1/n²<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n(n≥2)

②√(n 1)-√n=1/[√n √(n 1)]<1/(2√n)<1/(√n √(n-1))=√n-√(n-1)(n≥1)

（2）柯西不等式： 若a₁,a₂,a₃....,an∈R,b₁,b₂,b₃.....,bn∈R;則(a₁b₁ a₂b₂ a₃b₃ ... anbn)²≤(a₁² a₂² a₃² ... an²)(b₁² b₂² b₃³ ... bn²)當且僅當a₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃=...=an/bn時取等号

（3）琴生不等式（特例）與凸函數、凹函數

若定義在某區間上的函數f(x),對于定義域中任意兩點x₁，x₂(x₁≠x₂)有

f[(x₁ x₂)/2]≤[f(x₁) f(x₂)]/2或f[(x₁ x₂)/2]≥[(f(x₁) f(x₂)]/2

則稱f(x)為凸（或凹）函數.

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，标軸，穿線（偶重根打結），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨論；

②一元二次不等式ax2 bx c>0(a≠0)解的讨論.

（2）分式不等式的解法：先移項通分标準化，則

f(x)/g(x)>0<=>f(x)g(x)>0;f(x)/g(x)≥0<=>{f(x)g(x)≥0,g(x)≠0

（3）無理不等式：轉化為有理不等式求解

1.√f(x)>√f(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)>g(x)

2.√f(x)>g(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)>[g(x)]²

3√f(x)<g(x)<=>{f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)<[g(x)]²

（4）.指數不等式：轉化為代數不等式

（5）對數不等式：轉化為代數不等式

（6）含絕對值不等式

1應用分類讨論思想去絕對值； 2應用數形思想；

3應用化歸思想等價轉化

|f(x)|<g(x)<=>{g(x)>0,-g(x)<f(x)<g(x)

|f(x)|>g(x)<=>g(x)≤0(f(x),g(x)不同時為0）或{g(x)>0,f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)

注：常用不等式的解法舉例（x為正數）：

①x(1-x)²=1/2·2x(1-x) (1-x) ≤1/2(2/3)³=4/27

②y=x(1-x²)=>y²=[2x²(1-x²)(1-x²)]/2≤1/2(2/3)³=4/27=>y≦2√3/9

類似于y=sinxcos²x=sinx(1-sin²x)，③|x 1/x|=|x| |1/x|(x與1/x同号，故取等号）≥2

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