一、不等式的基本性質

①a≥b且b≥c⇒a≥c(不等式的傳遞性)

證明如下：

因為a≥b，b≥c，

所以a-b≥0，b-c≥0，

所以a-c=(a-b) (b-c)≥0。

②a≥b⇔a±c≥b±c(不等式的加法性質: 不等式的左右兩邊同時加上（或減去）同一個數，不等号的方向不變。)

③（1）a≥b且c＞0⇒ac≥bc；

（2）a≥b且c＜0⇒ac≥bc

（不等式的乘法性質：（1）不等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等号的方向不變；（2）不等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等号的方向改變。）

④a≥b且c≥d⇒a c≥b d。

證明如下：

因為a≥b，c≥d，

所以a-b≥0，c-d≥0，

所以（a-b） （c-d）≥0，a c≥b d。

⑤a≥b＞0且c≥d＞0⇒ac≥bd

證明如下：

因為a≥b＞0，c≥d＞0，

所以ac≥bc，bc≥bd（不等式的乘法性質）

所以ac≥bd（不等式的傳遞性）

⑥a≥b＞0⇒a^n≥b^n（n∈R）

⑦a≥b＞0⇒a^（1/n）≥b^（1/n）（n≠0）

二、區間

1、概念：由數軸上兩點間的一切實數所組成的集合叫做區間，其中，這兩個點叫做區間端點。

2、開區間和閉區間

（1）開區間:不含端點的區間

例如：集合{x|0＜x＜1}用表示的區間為（0，1）等等。

（2）閉區間:含有兩個端點的區間

例如: 集合{x|0≤x≤1}用表示的區間為[0，1]等等。

3、左半開區間和右半開區間

（1）左半開區間：隻含右端點的區間

例如：集合{x|0＜x≤1}用表示的區間為（0，1]等等。

（2）右半開區間：隻含左端點的區間

例如：集合{x|0≤x＜1}用表示的區間為[0，1）等等。

4、有限區間和無限區間

（1）有限區間：開區間、閉區間、左半開區間和右半開區間。

（2）無限區間：隻含有一個端點并且另一個端點不确定。

實數集合R用區間表示為（-∞， ∞）。

例如：①集合{x|x≥1}用區間表示為[1， ∞）②集合{x|≤-1}用區間表示為（-∞，-1] 等等。

三、絕對值不等式

1、解不等式|x|≤a或|x|≥a

（1）①當a=0時，x的解集為{x|x=0}；②當a＞0時，x的解集為[-a，a]；③當a＜0，x的解集為∅。

（2）①當a=0時，x的解集為R；②當a＞0時，x的解集為（-∞，-a]∪[a, ∞）；③當a＜0時，x的解集為R。

2、解不等式|ax b|≤c或|ax b|≥c(a≠0)

（1）①當c=0時，x的解集為{x|x=-b/a且a≠0}；②當c＞0時，x的解集為[-c-b/a，c-b/a](a≠0)；③當c＜0，x的解集為∅。

（2）①當c=0時，x的解集為R；②當c＞0時，x的解集為[c-b/a， ∞）∪（-∞，-c-b/a] (a≠0)；③當c＜0，x的解集為R。

3、通用公式：

①||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|

②|a b|≤|a| |b|（當且僅當ab≥0時，等号成立）

③|a-c|≤|a-b| |b-c|【當且僅當（a-b）（b-c）≥0時，等号成立】

四、基本不等式

1、（平方和）①當a、b∈R時，a^2 b^2≥2ab（當且僅當a=b時，等号成立）

②當a、b∈R 時，（a b）/2≥√ab（當且僅當a=b時，等号成立），√ab為幾何平均數，（a b）/2為正數a、b的算術平均數。

2、（立方和）①當a、b、c≥0時，a^3 b^3 c^3≥3abc（當且僅當a=b=c時，等号成立）

證明如下：【要證a^3 b^3 c^3≥3abc，也就是a^3 b^3 c^3-3abc≥0】

a^3 b^3 c^3-3abc=(a b c)^3-3ab(a b)-

3abc=(a b c)[(a b)^2 c^2-ac-bc-3ab]=1/2(a b c)[2a^2 2b^2 2c^2-2ac-2bc-2ab]= 1/2(a b c)[(a-b)^2 (b-c)^2 (a-c)^2]

因為a、b、c≥0，

所以a b c≥0，

(a-b)^2 (b-c)^2 (a-c)^2≥0，

所以a^3 b^3 c^3-3abc≥0，即：a^3 b^3 c^3≥3abc，當且僅當a=b=c時，等号成立。

②當a、b、c≥0時，（a b c）/3≥（abc）^1/3（當且僅當a=b=c時，等号成立）。

證明如下：【可以根據當a、b、c≥0時，a^3 b^3 c^3≥3abc（當且僅當a=b=c時，等号成立）】

設a^3=x，b^3=y，c^3=z（x、y、z≥0）。

所以x y z≥3·∛x·∛y·∛z= 3·∛xyz，當且僅當x=y=z時，等号成立（x、y、z≥0），

同理：當a、b、c≥0時，（a b c）/3≥∛（abc），當且僅當a=b=c時，等号成立。

推廣：當a₁、a₂、· ········ ·· 、an∈R 時，（a₁ a₂ · ········ ·· an）/n≥（a₁ a₂ · ········ ·· an）^1/n，當且僅當a₁=a₂=· ········ ·· =an時，等号成立。（n∈Z ）【證明略】

五、柯西不等式

當a、b、c、d∈R，（a^2 b^2）（c^2 d^2）≥（ac bd）^2（當且僅當ad=bc時，等号成立）

證明如下：【要證（a^2 b^2）（c^2 d^2）≥（ac bd）^2，也就是（a^2 b^2）（c^2 d^2）-（ac bd）^2≥0】

（a^2 b^2）（c^2 d^2）-（ac bd）^2=a^2d^2 b^2c^2-2abcd=（ad-bc）^2

因為（ad-bc）^2≥0，

所以（a^2 b^2）（c^2 d^2）-（ac bd）^2≥0，即：（a^2 b^2）（c^2 d^2）≥（ac bd）^2，當且僅當ad=bc時，等号成立。

推廣：當a₁、a₂、· ········ ·· 、an、b₁、b₂、· ········ ·· 、bn∈R，（a₁^2 a₂^2 · ········ ·· an^2）（b₁^2 b₂^2 · ········ ·· bn^2）（a₁b₁ a₂b₂ · ········ ·· anbn）^2，當且僅當bn=0或者a₁/b₁=a₂/b₂=· ········ ·· =an/bn(bn≠0)時，等号成立。（n∈Z ）【證明略】

六、權方和不等式

當b₁、b₂、a₁、a₂＞0，a₁^2/b₁ a₂^2/b₂≥（a₁ a₂）^2/（b₁ b₂），當且僅當a₁/b₁=a₂/b₂時，等号成立。

證明如下:【要證a₁^2/b₁ a₂^2/b₂≥（a₁ a₂）^2/（b₁ b₂），也就是（a₁^2/b₁ a₂^2/b₂）（b₁ b₂）-（a₁ a₂）^2≥0】

（a₁^2/b₁ a₂^2/b₂）（b₁ b₂）-（a₁ a₂）^2=a₁^2 a₂^2 a₁^2 b₂/ b₁ a₂^2 b₁/ b₂≥（a₁ a₂）^2[利用基本不等式]，當且僅當a₁/b₁=a₂/b₂時，等号成立。

推廣：a₁^(m 1)/b₁^m ··· an^(m 1)/bn^m≥（a₁ ··· an）^(m 1)/(b₁ ··· bn)^m，當且僅當a₁/b₁=a₂/b₂=··· =an/bn(bn≠0)時，等号成立。（n∈Z ）【證明略】

數學是需要不斷計算、推導、檢驗的

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