數列對于高考數學的重要性，相信不要吳老師多說，很多人心裡都有數。無論是數列的基礎知識、數列求和、通項公式、數列綜合應用等等，都是高考數學重要的考查對象。

　　從曆年高考數學題型來看，數列可以和函數、方程、不等式、三角等相關知識進行“串聯”，形成更為複雜的綜合性問題；或是結合實際生活例子，考查考生運用數列知識解決實際問題的能力。

　　高考數列試題這樣安排的目的，體現高考作為選拔人才的功能，凸顯對考生能力的考查。

　　不管哪一塊知識内容，題型多複雜、解法多靈活、知識點怎麼變化等等，萬變不離其宗，徹底紮實掌握好基礎知識内容，這一點是永遠都不會變。

　　紮實的基礎是我們準确解出題目的前提，要想提高數學能力、解題能力，就要把基礎學好、鞏固好。

　　因此，要想能全部解出數列相關高考問題，就要學好數列基礎知識内容。今天我們就一起來簡單分析數列基礎知識内容，希望能幫助大家鞏固好基礎知識，為進一步提高數學成績打下一個良好的開端。

　　什麼是數列的通項公式？

　　如果數列{an}的第n項與序号n之間的關系可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公式。

　　什麼是數列的遞推公式？

　　如果已知數列{an}的首項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an－1(n≥2)(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示，那麼這個公式叫數列的遞推公式。

　　典型例題分析1：

　　數列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常數c≠0)，且a1，a2，a3成等比數列．

　　(1)求c的值；

　　(2)求數列{an}的通項公式．

　　解：(1)由題知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，

　　因為a1，a2，a3成等比數列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，

　　解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.

　　(2)當n≥2時，由an＋1＝an＋cn得

　　a2－a1＝c，

　　a3－a2＝2c，

　　…

　　an－an－1＝(n－1)c，

　　以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝n(n-1)c/2，

　　又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，

　　當n＝1時，上式也成立，

　　所以數列{an}的通項公式為an＝n2－n＋2(n∈N*)．

　　要想學好數列基礎知識内容，我們要學會從多角度去看待數列。如數列從本質上來看，我們可以把它看成是一種特殊的函數。因此，數列不僅有其本身的特殊性，更具有很多函數的性質。如數列最明顯的函數特征：數列是一個定義域為正整數集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數，數列的通項公式也就是相應的函數解析式，即f(n)＝an(n∈N*)。

　　要想對數列概念進行徹底理解，那麼一定要從本質上去認識數列。數列是按一定“順序”排列的一列數，一個數列不僅與構成它的“數”有關，而且還與這些“數”的排列順序有關，這有别于集合中元素的無序性。因此，若組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那麼它們就是不同的兩個數列。

　　數列中的數可以重複出現，而集合中的元素不能重複出現，這也是數列與數集的區别。

　　典型例題分析2：

　　數列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.

　　(1)這個數列的第4項是多少？

　　(2)150是不是這個數列的項？若是這個數列的項，它是第幾項？

　　(3)該數列從第幾項開始各項都是正數？

　　解：(1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.

　　(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，

　　解得n＝16或n＝－9(舍去)，

　　即150是這個數列的第16項．

　　(3)令an＝n2－7n＋60，解得n6或n1(舍)．

　　故從第7項起各項都是正數．

　　記住這“三步法”，假如已知數列{an}的前n項和Sn，求數列的通項公式，其求解過程分為三步：

　　1、先利用a1＝S1求出a1；

　　2、用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式；

　　3、對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫。

　　典型例題分析3：

　　已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.求數列{an}與{bn}的通項公式．

　　解：∵當n≥2時，

　　an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，

　　當n＝1時，a1＝S1＝4也适合，

　　∴{an}的通項公式是an＝4n(n∈N*)．

　　∵Tn＝2－bn，

　　∴當n＝1時，

　　b1＝2－b1，b1＝1.

　　當n≥2時，

　　bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，

　　∴2bn＝bn－1.

　　∴數列{bn}是公比為1/2，首項為1的等比數列．

　　∴bn＝（1/2）n－1.

　　根據數列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關系、規律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉化為一些常見數列的通項公式來求。對于正負符号變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整。

　　根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含着“從特殊到一般”的思想。

　　同時要學會對數列進行分類：

　　按照項數标準來分，可以分成有窮數列和無窮數列兩種。

　　有窮數列是指項數有限；無窮數列是指項數無限。

　　按照項與項間的大小關系來分，可以分成遞增數列、遞減數列、常數列三種。

　　遞增數列是指滿足an＋1an的條件，其中n∈N*；

　　遞減數列是指滿足an＋1an的條件，其中n∈N*；

　　常數列是指滿足an＋1＝an的條件，其中n∈N*。

　　如等差數列和等比數列是兩種最基本、最常見的數列，它們是研究數列性質的基礎。

　　典型例題分析4：

　　已知數列{an}中，a1＝1，且滿足遞推關系an＋1＝(2a2n 3an m)/(an 1)(n∈N*)．

　　(1)當m＝1時，求數列{an}的通項公式an；

　　(2)當n∈N*時，數列{an}滿足不等式an＋1≥an恒成立，求m的取值範圍．

　　解：(1)∵m＝1，由an＋1＝(2a2n 3an 1)/(an 1)(n∈N*)，

　　得an＋1＝(2an 1)(an 1)/(an 1)＝2an＋1，

　　∴an＋1＋1＝2(an＋1)，

　　∴數列{an＋1}是以2為首項，公比也是2的等比數列．

　　于是an＋1＝2·2n－1，

　　∴an＝2n－1.

　　(2)∵an＋1≥an，而a1＝1，知an≥1，

　　∴(2a2n 3an m)/(an 1)≥an，

　　即m≥－an2－2an，

　　依題意，有m≥－(an＋1)2＋1恒成立．

　　∵an≥1，

　　∴m≥－22＋1＝－3，即滿足題意的m的取值範圍是[－3，＋∞)．

　　最值是解決數列相關問題最常見的題型之一，數列中項的最值的求法：

　　根據數列與函數之間的對應關系，構造相應的函數an＝f(n)，利用求解函數最值的方法求解，但要注意自變量的取值。

　　求和也是數列當中非常重要的知識内容，前n項和最值的求法：

　　1、先求出數列的前n項和Sn，根據Sn的表達式求解最值；

　　2、根據數列的通項公式，若am≥0，且am＋10，則Sm最大；若am≤0，且am＋10，則Sm最小，這樣便可直接利用各項的符号确定最值。

　　數列綜合問題很多時候在高考數學中占據較多分數，此類題型最大的特點就是以數列相關知識内容為載體，與函數、不等式、數學歸納法、實際問題、解析幾何、三角等知識相互結合，形成較為複雜的數列綜合問題。

　　很多學生面對這些綜合問題，就會産生退縮的心裡，無法拿到相應的分數。其實數列類綜合問題并不可怕，關鍵在于大家能否掌握好全部基礎知識内容，同時學會運用這些基礎知識去解決實際問題等等，不斷提高數學綜合能力。

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