把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現總結如下：

如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而将多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、 分解因式x2 -2x -x

x²-2x -x=x(x -2x-1)

由于分解因式與整式乘法有着互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。如，和的平方、差的平方

例2、分解因式a² 4ab 4b²

a² 4ab 4b² =（a 2b)²

要把多項式am an bm bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它後兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m n) b(m n),又可以提出公因式m n，從而得到(a b)(m n)

例3、分解因式m2 5n-mn-5m

m2 5n-mn-5m= m2-5m-mn 5n

= (m -5m ) (-mn 5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

對于mx2 px q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac bd=p，則多項式可因式分解為(ax d)(bx c)

例4、分解因式7x²-19x-6

分析：1 -3

7 2

2-21=-19

7x²-19x-6=（7x 2）(x-3)

對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用将其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x² 3x-40

解x² 3x-40=x² 3x (9/4) -(9/4) -40

=(x 3/2) ²-(169/4 )

=(x 3/2 13/2)(x 3/2-13/2)

=(x 8)(x-5)

可以把多項式拆成若幹部分，再用進行因式分解。

例6、分解因式bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)

bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)=bc(c-a a b) ca(c-a)-ab(a b)

=bc(c-a) ca(c-a) bc(a b)-ab(a b)

=c(c-a)(b a) b(a b)(c-a)

=(c b)(c-a)(a b)

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2,x3,……xn,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

例8、分解因式2x4 7x3 -2x2-13x 6

令f(x)=2x4 7x3 -2x2-13x 6=0

通過綜合除法可知,f(x)=0根為1/2 ,-3,-2,1

則2x4 7x3 -2x2-13x 6 =(2x-1)(x 3)(x 2)(x-1)

令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x1,x2,x3,……xn,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

例9、因式分解x³ 2x2-5x-6

令y=x³ 2x2-5x-6

作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2

則x³ 2x2-5x-6=(x 1)(x 3)(x-2)

先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

例10、分解因式a²(b-c) b²(c-a) c²(a-b)

分析：此題可選定a為主元,将其按次數從高到低排列

a²(b-c) b²(c-a) c²(a-b)=a²(b-c)-a(b²-c²) (b²c-c²b)

=(b-c) [a²-a(b c) bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

将2或10代入x，求出數P，将數P分解質因數，将質因數适當的組合，并将組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，将2或10還原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x³ 9x2 23x 15

令x=2,則x³ 9x2 23x 15=8 36 46 15=105

将105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的系數為1,而3、5、7分别為x 1,x 3,x 5,在x=2時的值

則x³ 9x2 23x 15=(x 1)(x 3)(x 5)

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

例12、分解因式x²-x³-5x2-6x-4

分析：易知這個多項式沒有一次因式,因而隻能分解為兩個二次因式.

設x4-x3-5x2-6x-4=(x2 ax b)(x2 cx d)

=x4 (a c)x3 (ac b d)x2 (ad bc)x bd

所以 解得

則x4-x3-5x2-6x-4=(x x 1)(x -2x-4)

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