作者 | Amond Lee

來源 | 機器之心

即使是沒有任何統計學基礎的讀者朋友可能也聽說過「p 值」，但是鮮有文章能夠清楚解釋 p 值是什麼，以及 p 值在統計學中的作用。本文是 TowardDataScience 的一篇博文，作者條理清楚地解釋了 p 值的相關内容，并給出了一個簡單的例子，适合讀者參考。

還記得我作為暑期實習生第一次在 CERN 海外實習時，大多數人都在讨論，要超過「5-sigma」阈值（這意味着 p 值為 0.0000003）才能确認發現了希格斯玻色子。

那時我對 p 值、假設檢驗甚至統計顯著一無所知。

直到進入數據科學領域後，我終于意識到了 p 值的含義，以及在某些實驗中，p 值是如何成為決策工具的一部分的。

因此，我決定在這篇文章中解釋什麼是 p 值以及如何在假設檢驗中使用 p 值。希望能幫你更好、更直觀地理解 p 值。

本文共分四個部分，從假設檢驗到理解 p 值，以及根據 p 值指導我們的決策過程。我強烈建議你仔細閱讀全文，以便詳細地了解 p 值：

1. 假設檢驗；
2. 正态分布；
3. 什麼是 p 值；
4. 統計顯著性。

假設檢驗

假設檢驗

在讨論 p 值的意義之前，我們先理解一下假設檢驗。在假設檢驗中，常用 p 值确定結果的統計顯著性。

我們的最終目标是确定結果的統計顯著性。而統計顯著性建立在這 3 個簡單概念之上：

• 假設檢驗
• 正态分布
• p 值

假設檢驗是用來通過一組數據檢驗針對總體的聲明（零假設）有效性的。如果零假設不成立，我們就會相信備擇假設。

換句話說，我們需要提出聲明（零假設），并用樣本數據來檢驗聲明是否有效。如果聲明是無效的，就選擇備擇假設。就這麼簡單。

而要知道聲明是否有效，就要用 p 值來衡量證據的強度，從而了解到它是否有統計顯著性。如果證據支持備擇假設，那就拒絕零假設并接受備擇假設。後面的章節中會解釋這些内容。

我們舉個例子來更清晰地說明這一概念，這個例子會貫穿全文同時說明其他概念。

假設某個披薩店聲稱，他們的平均配送時間小于等于 30 分鐘，但你認為他們的配送時間不止 30 分鐘。所以你做了假設檢驗，對配送時間随機采樣來檢驗這一說法：

• 零假設——平均配送時間小于等于 30 分鐘；
• 備擇假設——平均配送時間大于 30 分鐘。

這裡的目标是确定樣本數據中的證據能更好地支持哪種假設（零假設或備擇假設）。

本例中用的是單尾檢驗，因為我們隻想知道平均配送時間是否大于 30 分鐘。

因為配送時間小于等于 30 分鐘都是可以接受的，因此我們忽略另一個方向的可能性。這裡想要檢驗的是平均配送時間是否會大于 30 分鐘。換句話說，我們想知道披薩店是否在某種角度上騙了我們。

假設檢驗的常用方法之一是 Z 檢驗。這裡我們不讨論細節，因為我們想要先理解表面的内容，然後再深入。

正态分布

平均值為 μ 标準差為 σ 的正态分布

正态分布是用來觀察數據分布的概率密度函數。

正态分布有兩個參數——平均值（μ）和标準差（σ）。

均值是分布的集中趨勢。它決定了正态分布峰值的位置。标準差是衡量可變性的标準，它決定了均值到值的下降幅度。

正态分布通常和 68-95-99.7 規則（上圖所示）相關：

• 68% 的數據在平均值（μ）±1 個标準差（σ）内；
• 95% 的數據在平均值（μ）±2 個标準差（σ）内；
• 99.7% 的數據在平均值（μ）±3 個标準差（σ）内。

還記得文章開頭說的發現希格斯玻色子的「5-sigma」阈值嗎？在科學家證實發現希格斯玻色子之前，5-sigma 約為數據的「99.9999426696856%」。設置這麼嚴格的阈值是為了避免潛在的錯誤信号。

好了。現在你可能想知道「正态分布是如何應用在假設檢驗中的」。

因為是用 Z 檢驗進行假設檢驗的，因此要計算 Z 分數（用于檢驗統計量），這是數據點到平均值的标準偏差數。在本文的例子中，每個數據點都是收集到的披薩配送時間。

計算每個數據點的 Z 分數的公式。

對每個披薩配送時間點計算 Z 分數，并繪制出标準正态分布曲線時，x 軸上的單位從分鐘變成了标準差單位，因為已經通過計算（變量減去平均值再除以标準差，見上述公式）将變量标準化了。

标準正态分布曲線是很有用的，因為我們可以比較測試結果和在标準差中有标準單位的「正态」總體，特别是在變量的單位不同的情況下。

Z 分數的标準正态分布

Z 分數可以告訴我們整個數據相對于總體平均值的位置。

我喜歡 Will Koehrsen 的說法——Z 分數越高或越低，結果就越不可能偶然發生，結果就越有可能有意義。

但多高（低）才足以說明結果是有意義的呢？

這就是解決這個難題的最後一片拼圖——p 值。根據實驗開始前設定的顯著水平（alpha）檢驗結果是否具有統計學意義。

什麼是 P 值

與其用維基百科給出的定義來解釋 p 值，不如用文中的披薩配送時間為例來解釋它。

對披薩配送時間随機采樣，目的是檢查平均配送時間是否大于 30 分鐘。如果最終的結果支持披薩店的說法（平均配送時間小于等于 30 分鐘），那就接受零假設。否則，就拒絕零假設。

因此，p 值的工作就是回答這個問題：

如果我生活在披薩配送時間小于等于 30 分鐘（零假設成立）的世界中，那我在真實世界中得到的證據有多令人驚訝？

p 值用數字（概率）回答了這一問題。

p 值越低，證據越令人驚訝，零假設越荒謬。

當零假設很荒謬的時候還能做什麼？可以拒絕零假設并轉而選擇備擇假設。

如果 p 值低于之前定義的顯著水平（人們一般将它稱為 alpha，但我将它稱之為荒謬阈值——别問為什麼，我隻是覺得這樣更容易理解），那麼就可以拒絕零假設。

現在我們理解了 p 值是什麼意思。接下來把 p 值用到文中的例子中。

現在已經抽樣得到了一些配送時間，計算後發現平均配送時間要長 10 分鐘，p 值為 0.03。

這意味着在披薩配送時間小于等于 30 分鐘（零假設成立）的世界中，由于随機噪聲的影響，我們有 3% 的概率會看到披薩配送時間延長了至少 10 分鐘。

p 值越低，結果越有意義，因為它不太可能是由噪聲引起的。

大多數人對于 p 值都有一個常見的誤解：

p 值為 0.03 意味着有 3%（概率百分比）的結果是偶然決定的——這是錯誤的。

人們都想得到确切的答案（包括我），而這也是我在很長時間内都對 p 值的解釋感到困惑的原因。

p 值不能證明任何事。這隻是一種根據驚訝程度做出合理決策的基礎方法。Cassie Kozyrkov

我們是如何用 0.03 的 p 值來做出合理決策的（重點）：

1. 想象我們生活在平均配送時間小于等于 30 分鐘的世界——因為我們信任披薩店（我們最初的信念）！
2. 分析收集的配送時間樣本後，p 值為 0.03，低于 0.05 的置信水平（假設在實驗之前就設置好了），因此可以說結果是具有*統計顯著性*的。
3. 因為我們一直相信披薩店可以在 30 分鐘内配送披薩，現在需要考慮的是這一信念是否仍然有意義，因為結果告訴我們，披薩店沒能兌現承諾，而且結果是具有統計學意義的。
4. 那該怎麼辦？我們先試着用各種方法使初始信念（零假設）成立。但是因為披薩店的口碑越來越差，并且經常找導緻配送延遲的借口，我們自己都覺得再相信披薩店是很可笑的事情，因此，我們決定拒絕零假設。
5. 最終，我們做出了不再從這家披薩店買披薩的合理決定。

到現在為止，你可能已經注意到了，在上面的例子中，p 值不能證明或決定任何事。

在我看來，當結果有統計學意義時，p 值可以作為挑戰初始信念（零假設）的工具。在我們認為自己的信念荒謬（假設 p 值表明結果具有統計顯著性）的那一刻，就放棄了自己的初始信念（拒絕零假設）并做出了更合理的決定。

統計顯著性

這是最後一步，将所有内容放在一起，并檢驗結果是否有統計學意義。

隻有 p 值是不夠的，還要設定阈值（即顯著水平——alpha）。為了避免偏差，實驗開始之前就應該設定 alpha。如果觀測的 p 值小于 alpha，那就可以得出結論——結果具有統計顯著性。

經驗法則一般将 alpha 設定為 0.05 或 0.01（同樣，值取決于你的問題）。

如上文所述，假設在實驗開始前将 alpha 設置為 0.05，得到的結果具有統計顯著性，因為 p 值（0.03）小于 alpha。

為便于參考，整個實驗的基本步驟如下：

1. 陳述零假設；
2. 陳述備擇假設；
3. 确定 alpha 值；
4. 找到和 alpha 水平相關的 Z 分數；
5. 根據公式計算檢驗統計量；
6. 如果檢驗統計量的值比 alpha 水平的 Z 分數小（或 p 值小于 alpha 值），拒絕零假設。否則，接受零假設。

步驟 5 計算檢驗統計量的公式。

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