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今天的【大講堂】講解《等腰和等邊三角形》的性質和判定。

一.等腰三角形

1.等腰三角形的定義

有兩邊相等的三角行是等腰三角形、相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角時做底角，頂角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，

特别注意：

（1）等腰三角形是特殊的三角形，它具備三角形所有的性質，如内角和是180°，兩邊之和大子第三邊等。

（2）等腰三角形是軸對稱圖形。

2.等腰三角形的性質

(1).等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。

(2).等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成”三線合一”）

特别注意：

（1）“等邊對等角”隻有在同一個三角形中才能應用，若相等的線段不是同一個三角形的邊，則不能應用該性質；

（2）運用“等邊對等角”可以由頂角求底角，或由底角求頂角，也是證明角相等的常用方法。

3.等腰三角形的判定

（1）定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

（2）如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）

這時在△ABC中的已知條件是“∠B=∠C”，結論是“AB=AC”，證明的方法同樣有三種，即三種添加輔助線的方法，請讀者自己證明.由此可見：

性質定理

等腰三角形﹤=＝＝＝＝＝﹥兩角相等

判定定理

二者的題設與結論正好相反

例題應用：

例1.如圖，點D，E在△ABC的邊BC上AB=AC，AD=AE.求證：BD=CE.

【解析 】 在解決有關等腰三角形的問題時，一般可以作三種輔助線：作等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高或底邊上的中線，從而可以運用“三線合一”

證明 如圖，過點A作AF⊥BC，垂足為點F.

∵AB=AC，AD=AE，

∴AF為△ABC和△ADE的中線，

∴BF=CF，DF=EF.

∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE.

【小結】等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高均為等腰三角形的對稱軸。

二.等邊三角形

1. 等邊三角形的定義

等邊三角形是三邊都相等的三角形，也叫正三角形。

根據定義，等邊三角形的三條邊都相等，則任意兩條邊都相等，所以等邊三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等邊三角形的性質

（1）等邊三角形的三個内角都相等，并且每一個角都等于60°

（2）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，三條對稱軸交于一，該點稱為“中心”。（3）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質。

（4）等邊三角形外心、内心、重心、垂心四心合一。

3. 等邊三角形的判定

（1）定義法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

4. 含30°角的直角三角形的性質和判定

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半。

在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的角等于30°.

如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，則AC=½AB.

例題應用：

【解析】此類題考查了30°直角三角形的性質，矩形的判定與性質，線段的垂直平分線的判定與性質的綜合應用，解這樣綜合性比較強的題，有助益提高學生分析問題，解決問題的能力，是比較難的題.

1、本題是一道30°的直角三角形的性質，矩形的判定與性質，線段的垂直平分線的判定與性質的綜合題，解題的關鍵是靈活應用；

2、證明四邊形AEDF為矩形，得到DE=AF，根據直角三角形的性質得到DE等于BD的一半，即可得到DE等于AC的一半；

過點D作DE垂直AB，DF垂直于AC

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