幾何圖形中經常會出現一些特殊角，熟悉的有30°、45°、60°等等，特殊角往往伴随着固有屬性運用于題目中，也是解題思路來源之一。

比如看到30°角我們會想到1：√3: 2，45°角總是跟等腰直角三角形說不清道不明，60°甚至能牽出一隻等邊三角形。

關于特殊角，除了用角度表示，諸如15°角的倍數，還可以用三角函數表示，隻要最終的結果是：（1）好看；（2）好用，就可以将其歸為特殊角。

比如tanA=1/2，誠然我并不知道∠A的度數到底是多少，而且∠A也一定不是一個整數度數，但這并不妨礙∠A的特殊性，∠A所對的直角邊是鄰邊的兩倍，這與30°角的1：√3: 2并無本質區别。

打開三角函數的大門，打開新世界。

今天，故事的主角也是一個特殊角，哦不，是一組特殊角。

（2019北京中考第12題）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB ∠PBA=______°．（點A、B、P是網格線交點）

解法有很多，這裡就根據現有的方格紙來構造一下：∠PAB ∠PBA=∠BPQ=45°

這裡的∠PAB和∠PBA便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45°之外，用三角函數的觀點來看：

tan∠PAB=1/2，tan∠PBA=1/3,這個正切值可以說很好看了。

對于這裡的數據，為了便于記憶，通常稱為“12345”模型。

上文所舉的北京中考題已經足夠說明這個結論，考慮到使用這個結論的多樣性，以下用3種方法給出證明：

法一：方格紙中的構造

小學的時候我們可能就遇到過這樣一個題目：求∠1 ∠2．

考慮∠1和∠2的正切值，這不正是剛剛所說的α和β嗎？

構造等角，将α和β組合到一起：

根據這裡的等腰直角△ABC，可得∠1 ∠2=45°

此外，模型還可變式為：

法二：勾三股四弦五

如圖，AC=4，BC=3，AB=5，這個三角形我們再熟悉不過了。在這裡：

分别延長CB、CA可構造構造

此處我們還可得：

這個也是在解題中常用的結論。

法三：構造矩形

直角中夾一個45°角也是一種常見的構圖。

此處我們還可得：

做題從來都不是靠題目告訴我什麼，而是結合已知信息，分析這裡需要什麼

(1).已知45° α尋β、已知45° β尋α

留意題中給的45°角以及由正切值确定的α和β。

【2018湖北中考第9題】

如圖，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中點，将△ABG沿AG對折至△AFG，延長GF交DC于點E，則DE長是（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

【分析解答】根據BG是AB的一半，可得tan∠BAG=1/2，

連接AE，易證△AEF≌△AED，∴tan∠DAE=1/3，∴DE=2，故此題選C．

【2019鹽城中考第16題】

如圖，在平面直角坐标系中，一次函數y=2x-1的圖像分别交x、y軸于點A、B，将直線AB繞點B順時針旋轉45°，交x軸于點C，則直線BC的函數表達式是_______________．

【分析解答】根據解析式可知：即可求得C點坐标（3,0），可求得解析式。

【2017浙江麗水第16題】

如圖，在平面直角坐标系xOy中，直線y=-x m分别交x軸、y軸于A、B兩點，已知點C（2,0），點P為線段OB的中點，連接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是__________．

【分析解答】∠PAO=α，∠APC=45°，∴∠OPC=β，∴OP=6，∴OA=12,m=12．

【2017無錫中考第18題】

在如圖的正方形方格紙上，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于__________．

【分析解答】取點E如圖所示，則∠OAE=α，∠OEA=45°，∠BOD=α 45°，tan∠BOD=3

(2)發掘潛在的2α、2β

已知有3:4:5的直角三角形，其銳角的一半即為所求的α與β，反之，2α、2β也存在着特殊的三角函數值。

【2016甘肅天水第16題】

如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x軸、y軸上，連接OB，将紙片OABC沿OB折疊，使點A落在點A’位置，OB為根号5，tan∠BOC=1/2，則點A’的坐标為____________．

【分析解答】tan∠ABO=tan∠BOC=1/2，∴tan∠ABA’=4/3，

即△A’HB三邊之比為3:4:5，再根據BA’=BA=2，即可求得A坐标．

【2017宜賓中考第7題】

如圖，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折疊，使點A恰好落在對角線BD上F處，則DE的長是（ ）

A．3 B．24/5 C．5 D．89/16

【分析解答】考慮tan∠ABD=4/3，tan∠ABE=1/2，

∴AE=3，DE=5．故選C．

(3)正方形中的角度構造

正方形是中考最常出現的幾何圖形之一，由于對角線平分對角使得45°成為常客。

【一個小題目】

在正方形ABCD中，邊長為6，BE=2AE，連接DE，在AD、BC上分别存在點G、F，連接GF交DE于H點，且∠GHD=45°，求線段FG=_________．

【分析解答】觀察發現tan∠ADE=1/3，且∠GHD=45°，條件已經具備，考慮GF可動，平移GH，将α、β、45°彙于直角處。可知CF=3，

所以DF長度為3倍根号5．

(說明：文章素材來源于有一點數學 ，作者劉嶽，有異議留言，會及時處理上傳）

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