折紙藝術據傳起源于中國的漢朝，應該是在東漢蔡倫發明造紙術後不久。隋朝時經朝鮮傳到了日本，又從日本傳向西方。

折紙與數學相結合的開始大約可追溯到公元8世紀中期，處于文化鼎盛時期的阿拉伯人獨立發展了折紙藝術，他們将歐洲幾何學原理運用到折紙中，并且利用折紙來研究幾何學。從19世紀開始，折紙在西方成為了數學和科學研究的工具，解決在折紙過程中發現的一些數學之迷已經發展成為現代幾何學的一個分支。折紙作為一種人們熟悉的娛樂活動，如果将其運用到數學教學的過程中，相信會獲得很好的教學效果。

（一）折紙公理

一張白紙，不剪不裁，卻能折出無數變化。尺規作圖無法完成的任務，折紙卻能解決。為什麼它能有如此多變化呢？這還要從折紙對應的幾何操作說起了。

1991 年，日裔意大利數學家藤田文章（Humiaki Huzita） 指出了折紙過程中的 6 種基本操作，也叫做折紙幾何公理。假定所有折紙操作均在理想的平面上進行，并且所有折痕都是直線，那麼這些公理描述了通過折紙可能達成的所有數學操作：

容易看出，它們實際上對應着不同的幾何作圖操作。例如，操作 1 實際上相當于連接已知兩點，操作 2 實際上相當于作出已知兩點的連線的垂直平分線，操作 3 則相當于作出已知線段的夾角的角平分線，操作 4 則相當于過已知點作已知線的垂線。真正強大的則是後面兩項操作，它們确定出來的折痕要滿足一系列複雜的特征，不是尺規作圖一兩下能作出來的（有時甚至是作不出來的）。正是這兩個操作，讓折紙幾何有别于尺規作圖，折紙這門學問從此處開始變得有趣起來。

更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一個。在大多數情況下，過一個點有兩條能把點 A 折到直線 a 上的折痕。

操作 6 則更猛：把已知兩點分别折到對應的已知兩線上，最多可以有三個解！

一組限定條件能同時産生三個解，這讓操作 6 變得無比靈活，無比強大。利用一些并不太複雜的解析幾何分析，我們能得出操作 6 有三種解的根本原因：滿足要求的折痕是一個三次方程的解。也就是說，給出兩個已知點和兩條對應的已知線後，尋找符合要求的折痕的過程，本質上是在解一個三次方程！

後來，這 7 條公理就合稱為了藤田－羽鳥公理（Huzita–Hatori 公理），你可以在 維基百科 上讀到這個條目。在 2003 年的一篇文章中，世界頂級折紙 藝術家 羅伯特•朗 （Robert J. Lang ）對這些公理進行了一番整理和分析，證明了這 7 條公理已經包含折紙幾何中的全部操作了。

（二）折紙三等分角

（三）圓錐曲線的折疊

（1）折一個橢圓

許多的數學思想和對象可以通過折紙來證明或表示。圓錐截線也不例外。這裡給出的是怎樣用紙折出一個橢圓的方法。

● 由一張圓形的紙開始。

● 在圓的内部選擇一個不是圓心的點。在該點的位置打上點号。

● 折疊圓紙片，使圓的周界上有一點落在打點的地方。

● 繼續上述的過程，使之繞着圓的周界做下去。

最後，折痕會構成一個橢圓的形狀。

（2）折雙曲線

這裡給出怎樣折雙曲線的方法：

● 由畫在一張紙上的圓開始。

● 在圓的外部選擇一個點并在該點的位置上打上點号。

● 折疊紙片使圓的周界上有一點落在打點的地方，就像下圖所示的那樣。

● 繼續上述過程，繞着圓的全部周界折下去。

最後，折痕會構成一個雙曲線的形狀。

(3) 通過折切線構造抛物線。

在離紙張一邊一兩英寸的地方，設置抛物線的焦點。如圖所示的方法，将紙折20—30次。所形成的一系列折痕，便是抛物線的切線，它們整體地勾畫出曲線的輪廊。

數學折紙活動的奧秘在于思考，在于體驗，在于創造。用一張小小的紙片，通過折疊活動，探讨其中的數學原理和規律，對學生來說是一件快樂的事，可以體會到學習的愉快、創造的樂趣以及數學的魅力，培養發現問題、分析問題和解決問題的綜合能力。我們将在數學縱橫交錯的折痕間繼續探索發現！

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