數列的前n項和為sn各種求法-tft每日頭條

數列的前n項和為sn各種求法

生活更新时间:2025-02-03 00:59:59

題：求出數列的最大值項。

解：題幹很簡單，但是解題過程很有意思，用到很多微積分的知識點。

[知識點1]數列(離散的)和與之對應的函數(連續的)有緊密關聯，分析數列的特性往往可以通過分析對應的函數的特性而得。

令與數列對應的(連續)函數為：

接下來研究該函數的單調性，就是求函數的一階導數：

[知識點2]将函數寫成自然底數的形式可以方便求導數。

可以看出,當的時候，和的值總是大于零的，于是有：

的解就是的解。

解得：，這是函數在定義域内的唯一駐點。

[知識點3]通過一階導數分析原函數的單調性

更進一步地，有：

當時,,即,y(x)為增函數。

當時,,即,y(x)為減函數。

x=e 為 y(x) 的最大值點。

回到數列，這裡n是自然數 ()，顯然是無法取到e的，但因為，所以數列的最大值隻可能是和中的一個。

[知識點4]利用幂函數的單調性比較大小

顯然有：

所以：

則數列的最大值項為：，此項為所求。

-----

下圖中标記了三點的值及與數列對應的函數的圖像。

數列的前n項和為sn各種求法（好題分享求數列n）1

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