數學和邏輯學

數學結論的正确性，取決于公理的正确性，以及邏輯的嚴密性，因此數學和邏輯是密不可分的，特别是像歐幾裡得幾何這種數學體系，完全依賴于邏輯。

但是，數學和邏輯又是完全獨立的兩門學問，不能混為一談。

一般認為，邏輯是人類理性的體現，它的基本原理其實都是大白話，但是仔細琢磨起來很有道理，更關鍵的是，隻有少數人能夠堅持那些看似大白話的基本原理。

同一律：蘋果就是蘋果，不是橘子

首先要說的是同一律，它通常的表述是，一個事物隻能是其本身。

這句大白話背後的含義是，世界上任何一個個體都是獨一無二的。注意這裡說的是個體，不是群體。一個事物隻能是其本身，而不能是其他什麼事物。

蘋果就是蘋果，不會是橘子或者香蕉。因為有同一律，我們才可以識别出每一個個體，這在數學上可以用A=A這樣的公式表示，而且當一個個體從一個地方移到另一個地方去之後，它就不會在原來的地方而會出現在新的地方。

同一律：蘋果就是蘋果，不是橘子

·比如我們有一個等式X 5=7，當我們把5從等式的左邊移到右邊去之後，就變成了X=7-5，等式的左邊隻有X，不可能再有5這個數字了。

·很多孩子解方程，把數字從一邊移到另一邊的同時，忘記了把原來的數字消去，最後題做錯了，自己還有家長隻是覺得粗心了而已。

其實在每一次粗心的背後，都有概念不熟悉的深層次原因。具體到這個問題，就是根本不理解同一律。

同一律：蘋果就是蘋果，不是橘子

同一律在集合論中特别重要，集合中的所有元素必須都是獨一無二的。比如我們說整數的集合，裡面隻能有一個3，不能有兩個，如果有兩個，就出錯了，這一點很容易理解。

但是，在生活中，很多人自覺不自覺地在違反同一律，一個最典型的情況就是偷換概念，具體講就是把不同含義的概念使用了同一個名稱，達到瞞天過海的目的。

同一律：蘋果就是蘋果，不是橘子人

有些時候偷換概念是不自覺的，比如很多詞的含義有二義性，他搞不清楚，造成了自己頭腦的混亂，或者把一個個體和一個集合等價起來，以偏概全。

比如有些人會講，股市都是騙局，他們的經驗是來自一部分股票，是個體，但是講這句話的時候，就把股票換成了集合也就是股市。

自己不懂的邏輯，頭腦不清，講出的話違反了同一律後，就會造成别人的誤解，甚至自己也會被繞進去，很多人缺乏好的溝通能力，可以溯源到講話經常違反同一律上

同一律：蘋果就是蘋果，不是橘子

另一方面，也有人是故意違反同一律，比如悄悄改變某個概念的内涵和外延，把它變成了另外一個概念，或者将似是而非的概念混在一起講。

比如商家常常用“限量版”這個詞對外宣傳，讓人感覺數量非常有限。其實世界上任何商品的數量都是有限的，隻是多和少而已。很多商品，并沒有限量版一說，但其實數量比同類的限量版要少很多。比如說施坦威鋼琴一年一共生産2000台左右，大型的 ModelD隻有上百台，但是施坦威從來不說限量版。

同一律：蘋果就是蘋果，不是橘子

·相反，日本限量版的鋼琴數量常常比施坦威相應型号的總數量多很多了，但是一說限量版，大家就有高大上的感覺，這其實是偷換了限量版這個概念的外延。

·再舉一個例子，你會發現美國的左派和右派都在喊平等，但是總是在吵架，因為他們一個說的是結果平等，一個說的是機會平等，這是因為把很多相混淆的概念裝進了一個名詞中，違反了同一律。

同一律：蘋果就是蘋果，不是橘子

·在數學上，要嚴格遵守同一律。為了防止出現違反同一律的情況，就需要把概念定義得極為精确，在法律上也是如此。在生活中，我和别人溝通時，我常常會用我的語言複述一下對方的話，明确我們是在讨論同一件事情，這一點很重要。

很多時候，我們和别人溝通中的誤解，就來源于忽視了同一律。

·接下來要說的是矛盾律。它通常的表述是：在某個事物的某一個方面（在同一時刻），不可能既是A又不是A。我們前面介紹的數學中的反證法，就是基于矛盾律。

矛盾律“contradiction”一詞是由兩個詞根組合而成的，前一個詞根“contra”是“相反”的意思，第二個詞根“dict”是“講話”的意思，顧名思義，它就是指講話的意思相對立。

矛盾律：不可能既是A又不是A

也有人把矛盾律看作是同一律的延伸，因為“是A”和“不是A”是兩個不同的個體，自然不可能相同。我之所以強調事物的某一個方面，因為事物本身可能是多方面的，不同方面可能有不同的表現。

有同學問，光的波粒二象性是否違反矛盾律？

這其實不違反，因為它講的是一個事物的不同方面。

矛盾律：不可能既是A又不是A

·類似的，有人會講，我人在某處，心卻在你身邊，這也不違反矛盾律。但是如果說，某時某刻，我人在北京，人又不在北京，這就違反了矛盾律。在辦案中，我們說的不在場證據，之所以能成立，是因為有矛盾律作保證。

在數學和自然科學中，很多重大的發現都是源于矛盾律的使用。

比如在前面提到的畢達哥拉斯定理和無理數的内容中，這個定理和有理數性質的矛盾，就導緻了無理數的被發現。

矛盾律：不可能既是A又不是A

·在物理學上，麥克斯韋方程組和經典力學方程的矛盾，就導緻了後來相對論的提出。在生活中，有人會挑戰矛盾律，比如有人說：“我是一個矛盾的人，既慷慨大方，又斤斤計較。對于教育我總是慷慨解囊，對自己的生活非常節省。”

這種說法看似沒有違反矛盾律，其實已經違反了前面講的同一律，因為偷換了概念。

·最後，我們來說說排中律，它通常的表述是，任何事物在明确的條件下，都要有明确的“是”或“非”的判斷，不存在中間狀态。

·比如在數學上，一個數字，要麼大于零要麼不大于零，沒有中間狀态。有人可能會說，等于零不就是中間狀态麼？其實大于零的反面并非小于零，而是不大于零或者說小于等于零，因此等于零的情況其實就是不大于零的一種。

排中律：“是非”明确

·排中律保證了數學的明确性，通常我們在數學上使用排中律原則最多的時候，就是在所謂的排除法或者枚舉法中。當我們排除了一種情況時，和它相反的情況就一定會發生。

如果有多于兩種對立的情況，我們可以先把所有可能的情況二分，然後再不斷二分，直到每一個彼此不重複的情況為止。在計算機科學中，任何和二分相關的算法，其邏輯基礎都是排中律。

排中律：“是非”明确

·在這種思路的指導下，1976年，美國數學家阿佩爾和哈肯借助電子計算機，證明了四色（地圖）定理。這是圖論中一個非常著名的難題，它說的是在任何地圖上，隻要用四種顔色就能夠給所有的國家（或者地域）染色，保證相鄰的地域顔色不同。這個問題的難度在于情況太多、太複雜，因此數學家們努力了100多年也沒有結果。阿佩爾和哈肯的高明之處在于，他們用計算機窮舉了所有的情況，然後借助計算機一一證明了各種情況。

排中律：“是非”明确

·講到排中律，就不得不講西方人和東方人在思維上的一種差異。在美國的大學和研究生升學考試SAT和GRE中，都要寫作文，作文題目通常是就一個觀點發表贊同或者反對的意見。

中國學生的思維方式，常常是“既要…又要…，比如讓他分析是否要禁煙草，他會說：“因為吸煙對人體有害，因此我贊成禁煙，但是來自煙草的稅收在國家的總稅收裡占很大的比例，所以，也不贊成完全禁煙。”

排中律：“是非”明确

這種作文或許在中國的高考中能得到不錯的分數，但是在SAT和GRE的考試中，都會是不及格的分數，因為它首先違反了排中律。這不是文學寫作水平的問題，是邏輯上的問題。通常，稍微有一點邏輯的人在講話時，會注意不違反排中律。但是不少人在不注意的時候，還是會被人設套。比如一個檢察官問犯罪嫌疑人：“你收受的賄賂中有沒有奔馳汽車？”這其實就有一個圈套，因為問話包含了一個預設，即對方已經有了收受賄賂的行為。

排中律：“是非”明确

·對此問題，如果簡單地回答沒有，其實等于變相承認了自己有受賄行為。

有經驗的辯方律師這時候需要向法官提出抗議，抗議檢方這種設有圈套的問法。當然，作為被告方，好的回答是否定對方的大前提，即直接回答，我根本沒有接受過賄賂。

充分條件律：有果必有因

此外，很多邏輯學家也把“充分條件律”和上述三個基本原則等同起來，一同稱為邏輯的四個基本原則。所謂“充分條件律”，講的是任何結論都要有充足的理由，這也就是我們常說的因果原理

任何數學的推理，都離不開充分條件律。

·充分條件律成立的原因，在于宇宙中任何事物不能自我解釋，或者說不依賴于其它事物而存在。

充分條件律：有果必有因

比如邏輯學家們經常會講，為什麼有我呢？不是天生就有我，而是因為有我的父母存在。再比如說，為什麼張三數學成績好？是因為他聰明，老師好，學校條件好，或者學習努力而且方法好，等等，而不是毫無條件的，天生數學就好。當然，很多時候僅僅一個或幾個條件本身還夠不成充分條件，需要上述條件都滿足才行。

·數學正是因為有内在的邏輯性，才避免了可能的自相矛盾之處。

充分條件律：有果必有因

·這一講我想告訴大家的是：人們通常會身陷矛盾而不自知，因為缺乏邏輯性。

人們有時也會對某個重要的事物想不清楚，不知道該如何作判斷，其實運用邏輯，把事實分析一遍，真相就清楚了。這應該是邏輯學和數學給我們的啟發。而學習邏輯很好的方法就是學習好數學。

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