我們在前三講中主要講了如下内容：

向量：就是一組量，水平排列就是行向量，豎直排列就是列向量。

我們規定了向量的内積或者數積：就是向量對位的乘積和。以此我們可以刻畫向量的模，就是相同向量的内積再開根号。而向量的指向通過射影的概念，用兩個向量的内積比兩個向量的模來加以反映。兩個向量的平行與正交也進行了定義。

矩陣：就是以列向量水平排列的行向量，反之也行。我們定義了幺陣，定義了矩陣的轉置，矩陣的加減乘法，定義了矩陣的轉置與矩陣的逆，這就建立了矩陣的基本運算規則。

對于向量，可以有平行關系，一般來說關系可以有相關與無關，相關的意思是：如果n個向量，其中一個向量可以用另外的向量線性組合表達出來，這n組向量就是相關的，反之是無關的。

N維空間就是指，給定n個相互獨立的向量，其線性組合形成的所有向量構成一個n維向量集合，空間上可以定義向量的運算。這n個獨立的向量叫做該空間的基底，空間是基底擴張形成的集合。

n維向量空間的基底如果相互正交，則表達線性空間的向量會比較方便，這涉及矩陣的正交化問題，我們後續會講如何做。

注意到我們所涉及的内容大部分是從幾何出發引申出來的，長度與方向已經有了很好的表達，但面積體積這樣的概念卻并沒有包含在内。這涉及到向量的另外一種乘法：外積。本講先回到線性代數的起點：解線性方程，我們講行列式，行列式可以看成方形矩陣的自運算，用于實現矩陣值的量，國外多用determination這詞來表達其與矩陣的關系。

定義：矩陣的行列式對應着一個方矩陣的值，設A是個n元矩陣，

就是這個矩陣的行列式值。下面我們将利用矩陣與行列式的概念重新看看一次方程的解。

二元一次方程組可以寫成

并叫這個式子是二階行列式的話，那麼方程的解可以寫成：

方程組有解的條件也變為

上面的做法沒有特别的新意思，就是把代數運算整理成了一規整的的形式。

類似地對三元一次方程組

來說解方程的過程如下，我們先不要怕麻煩，要通過代數運算找出規律來。

方程有解的條件為：

注意到

也是非常規整的。

矩陣的行列式對應着一個方矩陣的值，設A是個n元矩陣，det（A)就是這個矩陣的行列式值。

其中：

我們已經知道二階，三階行列式的計算方法了。四階行列式的算法可以寫成：

上式中D代表n階行列式，D_ij代表删去i行j列後剩下的n-1階行列式，也叫餘子式.

我們可以對n階行列式做遞歸定義：即由n-1階行列式描述n階行列式

對二三階行列式而言有

即任意的兩行或者兩列相互置換所得新的行列式差一個負号。下面我們來論證對于任意階的行列式都有這樣的性質。

令D_ij，12表示一個行列式中删去，i，j行，1，2列後剩餘的行列式。

實際操作時，可以有兩種方式獲得D_ij，12

<1>.對D_i，1删掉其中對應于D的j行與2列

<2>. D_j，2删掉對應于D的i行與1列

将上面的1或者2用任意小于n的整數k加以替換，推導依然正确，再考慮到

推論1

行列式D中任意兩列或者任意兩行的交換後得到的新行列式是原來行列式的相反數，也就是說做行或者列交換，行列式值變号。

證明：列1<->i，1<->j,j<->1

則1複原，i，j交換，依次考慮計算D的過程，三種情況D的符号變了3次，所以D變号。

推論2

如果行列式中兩行或者兩列相同，則行列式的值為0。

對下面的n元方程

系數矩陣可以寫成

對n元方程（*）的每個方程施以運算

右邊是

所以n元方程有解的條件為系數行列式的值不為0，解方程的問題就變成了算行列式的問題。這就是解線性方程組的主要理論。

有了這四講墊底，想深入學習的可以找大學線性代數教材自學了，最好找歐美法風格的入門級線代課本。網絡上流傳很廣的一個視頻是可汗學院出品的一個可視化從物理，數學，信息科學的角度來看矩陣的，國内洗稿者不計其數，至少頭條就有幾篇高點擊率的。站位并不高，隻是國内高中與大學線性代數缺乏銜接，所以大學生特别是一般的大學生覺得線性代數很抽象，很無用而已。

這四講仔細讀過，再結合研究生考綱，研究生入學考試的線性代數的基本基礎也就有了。教育要革命，學制要縮短，我信這個，呵呵。

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