高考數學一直很注重對考生邏輯思維能力的考查，一方面是基于數學這門學科的特殊性，另一方面是高考數學具有選拔人才的功能，為高校輸送優秀的人才。因此，在數學學習過程中，我們一定要加強邏輯思維能力的訓練。

如與立體幾何相關的數學問題，一直是高考數學必考的熱門題型，此類問題題型新穎、方法多樣，能很好考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力等等數學基本能力。

縱觀近幾年的高考數學立體幾何問題，我們發現線面垂直、面面垂直是熱門考點之一，重點考查到線線、線面、面面位置關系等基本知識概念。

典型例題分析1：

已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正确的是(　　)

A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n

B．若m⊥α，m⊥n，則n∥α

C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n

D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β

解析：選C　

對于選項A，若m∥α，α∩β＝n，則m∥n，或m，n是異面直線，所以A錯誤；

對于選項B，n可能在平面α内，所以B錯誤；

對于選項D，m與β的位置關系還可以是m⊂β，m∥β，或m與β斜交，所以D錯誤；

由面面垂直的性質可知C正确．

為了能更好解決直線與平面垂直相關的數學問題，我們掌握一些證明直線和平面垂直的常用方法有：

1、利用判定定理；

2、利用判定定理的推論(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；

3、利用面面平行的性質(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；

4、利用面面垂直的性質；

5、當兩個平面垂直時，在一個平面内垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

平面與平面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面内垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

典型例題2：

設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列四個命題：

①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，則b∥α；②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.

其中正确命題的個數為(　　)

A．1　　B．2

C．3 D．4

解析：選D　

對于①，由b不在平面α内知，直線b或者平行于平面α，或者與平面α相交，若直線b與平面α相交，則直線b與直線a不可能垂直，這與已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确。

對于②，由a∥α知，在平面α内必存在直線a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确。

對于③，若直線a與平面α相交于點A，過點A作平面α、β的交線的垂線m，則m⊥β，又α⊥β，則有a∥m，這與“直線a、m有公共點A”相矛盾，因此③正确。

對于④，過空間一點O分别向平面α、β引垂線a1、b1，則有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．綜上所述，其中正确命題的個數為4。

典型例題3：

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M為棱DD1上的一點．

(1)求三棱錐A－MCC1的體積；

(2)當A1M＋MC取得最小值時，求證：B1M⊥平面MAC.

解：(1)由長方體ABCD－A1B1C1D1知，

AD⊥平面CDD1C1，

∴點A到平面CDD1C1的距離等于AD＝1.

又S△MCC1＝1/2CC1×CD＝1/2×2×1＝1，

∴VA－MCC1＝1/3AD·S△MCC1＝1/3.

(2)證明：将側面CDD1C1繞DD1逆時針轉90°展開，與側面ADD1A1共面(如圖)，當A1，M，C′共線時，A1M＋MC取得最小值．

∴CC12＝MC12＋MC2，得∠CMC1＝90°，

即CM⊥MC1.

又由長方體ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，

∴B1C1⊥CM.

又B1C1∩C1M＝C1，

∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M.

同理可證，B1M⊥AM.

又AM∩MC＝M，

∴B1M⊥平面MAC.

垂直關系的證明就是學會熟練運用相關的性質定理和判定定理，将各種垂直關系不斷進行轉化。在解決實際問題的過程中，我們可以先從題目條件入手，明确已有的垂直關系，再從結論分析待證的垂直條件，從而建立起已知與未知之間的關系。

要記住一些判定面面垂直的方法：

1、面面垂直的定義；

2、面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)。

在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，轉化為線面垂直或線線垂直。

轉化方法：在一個平面内作交線的垂線，轉化為線面垂直，然後進一步轉化為線線垂直。

在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件．同時抓住線線、線面、面面垂直的轉化關系，即：

在證明兩平面垂直時，一般先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決，如有平面垂直時，一般要用性質定理．

記住幾個常用的結論：

(1)過空間任一點有且隻有一條直線與已知平面垂直．

(2)過空間任一點有且隻有一個平面與已知直線垂直．

典型例題分析4：

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F為B1C1的中點．

求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直線A1F∥平面ADE.

解：(1)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，

又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因為AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，

CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因為A1B1＝A1C1，F為B1C1的中點，

所以A1F⊥B1C1.

因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又因為CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知AD⊥平面BCC1B1，

所以A1F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE.

垂直關系證明蘊含着豐富的數學思想方法，如轉化思想方法，即由線線垂直得線面垂直（線面垂直的判定定理），由線面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得線面垂直（面面垂直的性質定理），由線面垂直得線線垂直（線面垂直的定義）。

要想拿到立體幾何的分數，那麼平時一定要加強再基礎知識、基本技能訓練，尤其對定義、定理的由來和結論的形成加強學習，這樣才能從根本理解數學概念、定理、性質等等。如要非常透徹去理解線面垂直的定義，掌握線面垂直的判定定理和性質定理，掌握面面垂直的判定定理和性質定理。學會運用公理、定理和已獲得的結論，證明一些有關空間圖形的垂直關系的簡單命題。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!