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平面向量共線定理

知識 更新时间:2024-12-05 07:45:52

  平面向量共線定理:共線向量也就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,表示為a∥b ,任意一組平行向量都可移到同一直線上,所以稱為共線向量。共線向量基本定理為如果a≠0,那麼向量b與a共線的充要條件是:存在唯一實數λ,使得 b=λa。

  如果a≠0,那麼向量b與a共線的充要條件是:存在唯一實數λ,使得b=λa。

  證明:

  1、充分性:對于向量a(a≠0)、b,如果有一個實數λ,使b=λa,那麼由實數與向量的積的定義知,向量a與b共線。

  2、必要性:已知向量a與b共線,a≠0,且向量b的長度是向量a的長度的m倍,即∣b∣=m∣a∣。那麼當向量a與b同方向時,令λ=m,有b=λa,當向量a與b反方向時,令λ=-m,有 b=λa。如果b=0,那麼λ=0。

  3、唯一性:如果b=λa=μa,那麼(λ-μ)a=0。但因a≠0,所以λ=μ。

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