幾何數學平行四邊形競賽題-tft每日頭條

幾何數學平行四邊形競賽題

教育更新时间:2025-01-24 15:47:14

以任意四邊形ABCD四條邊為基礎向外做正方形，連接相對兩正方形的中心。

求證：這兩條線段NP、MO垂直且相等

幾何數學平行四邊形競賽題（初中數學競賽趣題）1

分析：這題是全國初中數學競賽真題，題目較為新穎，其中四邊形的任意性也能具有中心垂直相等的結論，也是非常具有數學的美感。

此題主要考察全等三角形的手拉手模型，通過構造手拉手來證明線段的關系。

如果你想思考一下，請暫停滾屏，思考幾分鐘再繼續

解答：很明顯，這是一道手位手模型題，準确一點說，應該是手位手拉手拉手模型……

普通手拉手的基本思路是，尋找一個含有兩個基礎正方形的圖形，旋轉到合适角度，構造全等形。對于本題這個DOUBLE手拉手的情況，求證的兩條線段長度位置明顯是由四個正方形共同決定的，隻含有兩個正方形元素的圖形旋轉不能直接搞定。猜測方向應該是構造兩個含有求證線段的全等三角形，含有兩個基礎正方形的圖形旋轉各自搞定一條邊。

按下圖做輔助線，其中Q為AC中點：

幾何數學平行四邊形競賽題（初中數學競賽趣題）2

其中兩組紫色和綠色的三角形是我們構造的手拉手三角形。

易證紫色一對三角形EBC與三角形ABH全等，所以AH=EC，且AH垂直于EC。

由中位線定理，OQ平行且等于AH，且OQ=AH/2, QN平行EC，且QN等于EC/2

從而OQ垂直且等于QN

同理可證PQ垂直且等于MQ

所以∠OQM=∠PQN，一對綠色三角形OQM和NQP全等，結論成立。

你想到了嗎？

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