1 音律為什麼是7個音符(五度相生律)？

1.1 一個音程對應一段弦L，在一段弦内需要找到對應最和諧的音的點；(弦樂器弦的振動頻率和其長度是成反比的)

1.2 要能解決“轉調”問題（簡單的關系或比例，弦的不同段實現同音不同調的需要，弦長減半，音高為兩倍，即2F；）

1.3 一段弦在3/4L和2/3L這兩個位置與主音是最和諧的音；

1.4 轉而找2/3的2/3，即與最和諧的那個音的最和諧的音，這樣就得到了4/9的位置，即9/4F音高。如果超出了2F的範圍，進入了下一個音程可利用“等差音高序列”将頻率減半，得弦長8/9的位置。如此進行“按3/2比例尋找最和諧音”這個過程循環，循環多少次呢？考慮到（3/2）^5≈7.59，和2^3＝8很接近;所以循環5次比較合适，得到了5個音，加上主音和4/3F，一共是7個音（兩音之間的關系隻存在兩種比例關系，也就是全音與半音的關系）。這就是為什麼音律上要取do、re、mi等等7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。

2 五度相生律的修正

上述半弦長兩倍音高的（3/2）^5≈7.59和2^3＝8的值存在差異，需要修正；

3 樂理知識

在這七個音符中有一個規律，就是3（mi）到4（fa）、7（si）到高音1（do）是伴半音。在吉他上是相鄰的兩個品為半音，比如一弦1品是3（mi），那麼一弦2品就是4（fa）；在吉他上個一品是全音，比如一弦1品是1（do），那麼一弦3品就是2（re），中間隔了1品。

音的高低：5（上面一點）-------基本符号上面加一個高音點，表示比基本音高一個八度。

音的長短：不管是在歌曲還是樂曲中，每個音多長或多短，都是由時值來确定的。音樂之所以被稱為時間的藝術，就是因為他存在着時間性。那麼時值是怎樣表現的呢？在簡譜中，音的時值是以短橫線和附點表示的。

音程（Interval)，音程數是按兩個音（包含這兩個音）之間一共有多少個音來決定其度數。除度數以外，音程還有大、小、增、減、純的等性質的區别，度數加性質，就構成了對音程的完整描述。音程是和弦的基礎；

4 常見樂器組合

5 民謠吉他

即老百姓們常見的彈唱吉他。正規的民謠吉他，它的琴弦是用六個白色固弦釘固定在琴碼上的，各弦之間距離為7mm，共鳴箱結合處在14品。特點：1.鋼絲弦。2.個頭比較大些，琴頸較細。3.琴弦為鋼弦與琴箱接頭處為十四品。4.表面闆上可能有一塊半月形保護闆。5.油漆往往較花哨，欠莊重。以伴奏為主。

琴品：是與琴弦垂直的金屬條，能改變琴弦震動的長度而産生不同的音高；

品格标記點：可以讓你很快找到某一品的位置，一般标記在3、5、7、9、12、15等品格内；

把位：是指左手食指所在上的位置，不同的把位實際上就是不同的調，換把位通常意味着調與調之間的轉化。每連續四個品構成一個把位，左手的食指、中指、無名指、小指分别負責四個品格的音。從一品往後走，把位越高，分别對應低把位、中把位、高把位。

左手編号：從小指到拇指：4、3、2、1；

右手編号：從拇指到小指：pi max或ch;

6 吉他品格及關系

以标準音(空弦音)定音後，每根弦上的音位是按十二平均律來分配的。從琴頸往琴箱是低音到高的趨勢。什麼是十二平均律呢？以1、2、3、4、5、6、7、1'為例，一組音中隻有3&4和7&1'間的音程是半音關系,其于的都是全音.

吉他上每個品格表示一個半音，si和do，mi和fa是半音關系，其餘都是全音關系（兩個半音）。吉他兩根弦之間相隔四個半音（二弦和三弦之間隻相隔三個半音）。想掌握音階的話單看c調是不夠的，十二個調都應該掌握，應該知道十二平均律和吉他指闆五種指型.

1 同弦一組音1、2、3、4、5、6、7、1'之間的音程關系：全音與半音；

2 同音相鄰弦之間的關系：

二、三弦之間是相隔三品（三個半音 )

其它的弦之間是相隔四品（四個半音 )

3 相差一個音相鄰弦之間的關系；

①二、三弦之間、3和4、7和1'：是相隔二品（二個半音 ) 3-1

②二、三弦之間、其它音之間：是相隔一品（一個半音 ) 3-2

③其它的弦之間、3和4、7和1'：是相隔三品（三個半音 ) 4-1

④其它的弦之間、其它音之間：是相隔二品（二個半音 ) 4-2

思路：

①二、三弦之間，彈3音，下一條弦的3音，需往前隔三品，而4音則是再往前進一品，即3、4音之間隔3-1

②二、三弦之間，彈5音，下一條弦的5音，需往前隔三品，而6音則是再往前進二品，即5、6音之間隔3-2

③其它的弦之間，彈3音，下一條弦的3音，需往前隔四品，而4音則是再往前進一品，即3、4音之間隔4-1

④其它的弦之間，彈5音，下一條弦的5音，需往前隔四品，而6音則是再往前進二品，即5、6音之間隔4-2

7 和弦

和弦（chord)是三個及在個以上音同時發音的結合。和聲(Harmony)是研究和弦及應用的科學。廣義的和弦包含音的所有組合。但正如食物包括所有的可食的物質，但并非所有食物的組合都可稱為美食，和弦也一樣，經音樂實踐檢驗和科學研究表明，最易于聽覺接受，也最具有實用性的和弦，是以三度疊置方式構成的各種和弦，其中三和弦和七和弦最常用，大三和弦和小三和弦及屬七和弦，構成了音樂和聲結構的主幹，其次的增三和弦、減三和弦（及和它性質相同的減七和弦），各種七和弦和九和弦、十一和弦和十三和弦，更多用于轉調及豐富音樂色彩。

和弦是由至少三個以上具有一定章程關系的音的組合。

兩個音之間的距離叫音程，用度表示，兩個相同的音之間是1度。

和弦的基本名稱也就是的根音的名稱；

從基礎和弦學習中可以看到，本文的“大－小調體系”是非常科學的一種調式體系，基于本文“大－小調體系”的和聲也非常科學。大調的三個正三和弦（主和弦、屬和弦、下屬和弦）都是大三和弦，這就決定了大調的基調。而小調的三個正在和弦（主和弦、屬和弦、下屬和弦）都是小三和弦，這就決定了小調的基調。大小調的和弦正好互為陰陽，正好互補。大調以明亮的大三和弦為主，以柔美的小三和弦為輔；小調以小三和弦為主，以陽剛的大三和弦為輔。

兩個樂音構成章程，3個及3個以上的樂音使可以構成和弦。3個及3個以上的樂音按照一定的音程關系疊置在一起，同時發出聲響的稱為和弦。和弦中的音通常是三度音程關系疊置在一起的。

三個音可以構成和弦，四個音也可以構成和弦，其實五個、六個音都可以構成和弦。

三和弦

我們把由三個音構成的和弦稱為三和弦。

三和弦和其他所有和弦一樣，音由低往高按順序自下而上疊放。最低音放在最下面，稱為根音，最高音放在最上面，因其與根音是五度音程關系，所以稱為五音；中間的音與根音、與五音都是三度音程關系，所以稱為三音。

三和弦表示由三個音組成和弦，其中最低的音稱為根音，在根音的基礎上按三度關系重疊的第二個音叫三音，第三個音叫五音；如C和弦的組成音就是135，Em和弦即是357；彈奏時，在指闆上找到相應位置，即構成相應的和弦；在三度關系中，區分中間是否有半音？

由4個音構成的和弦并不叫四和弦，因最下方音與最上方音是七度音程關系，所以就稱由4個音程的和弦為七和弦；

在吉他上構造和弦（安排指法）有以下原則：

a 盡可能使吉他六根弦上的音全部為和弦内音；

b 将和弦的根音盡可能安排在6、5、4這三根弦上；

c 彈奏時盡量不碰觸和弦外音（在弦上無法構成和弦内音的弦）

和弦内音和外音：

比如C和弦的構成音是1 3 5這三個音，所以1 3 5這三個音就是和弦内音。除此之外的都叫做和弦外音。體現在琴上你會發現，和弦圖上的C和弦按照指法按好後，六條弦的音高分别是5 1 3 5 1 3，所以六條弦都是和弦内音。 但是如果是D和弦，按照和弦圖按好後，看六條弦的音高分别是3 6 2 6 2 #4，而D和弦構成音是：2 #4 6，這個時候你可以看到六弦的音高3 不是D和弦的構成音，因此它是和弦外音，這個音如果出現在和弦中就會産生不和諧的感覺，體現在和弦圖上你看一下在六弦的位置會标記一個X，也就是說這個時候六弦是不能彈響的。

轉位和弦

以和弦的根音為低音（最低的音）的和弦，叫做原位和弦。以和弦的三度音，五度音，七度音為低音的和弦，叫做轉位和弦。把原位和弦的根音轉到高八度的這個音上 例如原位三和弦1 3 5 第一轉位是351 這個1變成了高音1第二轉位是513 1和3都是高音的 如果再轉一次的話就變回了原位的135;

和弦命名的幾個英文詞：

Min小，Augmented增加，Diminished減，Suspend挂，Major大；

和弦從演奏技法來看，可看兩類

a 和弦齊奏（也叫持續和弦），即和弦持續發音，由于這樣的和弦記在一豎行上，所以也叫柱式和弦；

b 分解和弦（也叫琶音），和弦音不同時發出，而是按一定的組合順序先後發出。反複出現的一定順序叫做音型；

c 黃金節奏；

8 音律為什麼是7個音符？(五度相生律)

琴弦的振動是和琴弦的長度有關系的。如果在一根弦振動的時候，用手指按住弦的中點，即讓原來全部振動的弦，變成兩根以1/2長度振動的弦，我們會聽到一個比較高的音。這個音和原來的音之間就是八度音程的關系。因為在物理上，弦的振動頻率和其長度是成反比的。

接着再試，數學上簡單性僅次于3:1的是4:1，我們試試按弦的1/4點會怎樣？又出現了兩個音。一個音的頻率是原來的4倍（因為弦長變成了原來的1/4），這和原來的音（術語叫“主音”）是兩個八度音程的關系，可以不去管它。另一個音的頻率是主音的4/3倍（因為弦長是原來的3/4）。現在我們又得到了一個重要的頻率，4/3F。

在一個八度音程之内，還有那些音是重要的。這其實是律學的中心問題。也就是說，如果某一個音的頻率是F，那麼我們要尋找F和2F之間還有那些重要的頻率。

如果大家有學習弦樂器（比如吉它、古琴、小提琴）的經驗的話，都明白它們能發聲是因為琴弦的振動。同一根弦，在不同的情況下振動，可以發出很多頻率的聲音。在聽覺上，與主音F最和諧的就是3/2F和4/3F（除了主音的各個八度之外）。這個現象也被很多民族分别發現了。比如最早從數學上研究弦的振動問題的古希臘哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前6世紀）。我國先秦時期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》也記載了所謂“三分損益律”。具體說來是取一段弦，“三分損一”，即均分弦為三段，舍一留二，便得到3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段後再加一段，便得到4/3F。

得到這兩個頻率之後，是否繼續找1/5點、1/6點等等繼續試下去呢？不行，因為聽覺上這些音與主音的和諧程度遠不及3/2F、4/3F。實際上4/3F已經比3/2F的和諧程度要低不少了。古人于是換了一種方法。與主音F最和諧的3/2F已經找到了，他們轉而找3/2F的3/2F，即與最和諧的那個音最和諧的音，這樣就得到了（3/2）2F即9/4F。可是這已經超出了2F的範圍，進入了下一個八度。沒關系，不是有“等差音高序列”嗎？在下一個八度中的音，在這一個八度中當然有與它等價的一個音，于是把9/4F的頻率減半，便得到了9/8F。

接着把這個過程循環一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，這也在下一個八度中，再次頻率減半，得到了27/16F。

就這樣一直循環找下去嗎？不行，因為這樣循環下去會沒完沒了的。我們最理想的情況是某一次循環之後，會得到主音的某一個八度，這樣就算是“回到”了主音上，不用繼續找下去了。可是（3/2）n，隻要n是自然數，其結果都不會是整數，更不用說是2的某次方。律學所有的麻煩就此開始。

數學上不可能的事，隻能從數學上想辦法。古人的對策就是“取近似值”。他們注意到（3/2）5≈7.59，和23＝8很接近，于是決定這個音就是他們要找的最後一個音，比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣，從主音F開始，我們隻需把“按3/2比例尋找最和諧音”這個過程循環5次，得到了5個音，加上主音和4/3F，一共是7個音。這就是為什麼音律上要取do、re、mi等等7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。

這7個音符的頻率，從小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

如果這裡的F是do，那麼9/8F就是re、81/64F就是mi……，這7個頻率組成了7聲音階。這7個音都有各自正式的名字，在西方音樂術語中，它們分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下屬音（subdominant）、屬音（dominant）、下中音（submediant）、導音（leading tone）。其中和主音關系最密切的是第5個“屬音”so和第4個“下屬音”fa，原因前面已經說過了，因為它們和主音的和諧程度分别是第一高和第二高的。由于這個音律主要是從“屬音”so即3/2F推導出來的，而3/2這個比例在西方音樂術語中叫“純五度”，所以這種音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希臘的畢達哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），東方是《管子》一書的作者（不一定是管仲本人）。我國曆代的各種音律，大部分也都是從“三分損益律”發展出來的，也可以認為它們都是“五度相生律”。

9 五度相生律的修正：純律

仔細看上面“五度相生律”7聲音階的頻率，可以發現它們彼此的關系很簡 單：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 之間的頻率比都是9:8，這個比例被稱為全音（tone）；mi-fa、si-do 之間的頻率比都是256:243，這個比例被稱為半音（semitone）。“五度相生律”産生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太複雜了。前面說過，如果按住弦的1/5點或者1/6點，得到的音已經和主音不怎麼和諧了，居然出現了81/64和243/128這樣的比例，這不會太好聽吧？于是有人開始對這7個音的頻率做點調整，于是就出現了“純律”（just intonation）。

“純律”的重點是讓各個音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個音和主音的頻率比盡量簡單。“純律”的發明人是古希臘學者塔壬同（今意大利南部的塔蘭托城）的亞理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（東方似乎沒有人獨立提出“純律”的概念。）此人是亞理士多德的學生，約生活在公元前3世紀。他的學說的重點就是要靠耳朵，而不是靠數學來主導音樂。他的書籍留下來的隻有殘篇，不過可以證實的是他提出了所謂“自然音階”。

自然音階也有7個音，但和“五度相生律”的7聲音階有不小差别。7個自然音階的頻率分别是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确實簡單多了吧？也确實好聽多了。這麼簡單的比例，就是“純律”。

可以看出“純律”不光用到了3/2的比例，還用到了5/4的比例。新的7個頻率中和原來不同的就是5/4F、5/3（=5/4×4/3）F、15/8（=5/4×3/2）F。

雖然“純律”的7聲音階比“五度相生律”的7聲音階要好聽，數學上也簡單，但它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了，但各音之間的關系變複雜了。原來“五度相生律”7聲音階之間隻有“全音”和“半音”2種比例關系，如今出現了3種：9:8（被叫做“大全音”，major tone，就是原來的“全音”）、10:9（被叫做“小全音”，minor tone）、16:15（新的“半音”）。各位把自然音階的頻率互相除一下就能得到這個結果。更進一步說，如果比較自然音階中的re和fa，其頻率比是27/32，這也不怎麼簡單，也不怎麼好聽呢！所以說“純律”對“五度相生律”的修正是不徹底的。事實上，“純律”遠沒有“五度相生律”流行。

10 五度相生律的修正：從7聲音階發展到12聲音階

對于“五度相生律”的另一種修正是從另一個方向展開的。還記得為什麼要取7個音符嗎？是因為（3/2)^5≈7.59，和2^3=8很接近。可這畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個八度之内，這麼小的差距也許沒什麼，但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度，那麼這種近似就顯得不怎麼好了。于是人們開始尋找更好的近似值。通過計算，古人發現（3/2)^12≈129.7，和2^7=128很接近，于是他們把“五度相生律”中“按3/2比例尋找最和諧音”的循環過程重複12次，便認為已經到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和4/3F，如今就有了12個音符。注意，“規範”音階不是do、re、mi……等7個音符了，而是12個音符。這種經過修改的“五度相生律”推出的12聲音階，其頻率分别是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。

和前面的“五度相生律”的7聲音階對比一下，可以發現原來的7個音都還在，隻是多了5個，分别插在它們之間。用正式的音樂術語稱呼原來的7個音符，分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出來的5個音符于是被叫做C#（讀做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音階不能用do、re、mi的叫法了，應該被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相鄰兩個音符的頻率互相除一下，就會發現它們之間的比例隻有兩種：256:243（就是原來的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048（這被叫做“變化半音”）。也就是說，這12個音符幾乎可以說又構成了一個“等差音高序列”。它們之間的“距離”幾乎是相等的。（當然，如果相鄰兩個音符之間的比例隻有一種的話，就是嚴格的“距離”相等了。）原來的7聲音階中，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之間都相隔一個“全音”，如今則認為它們之間相隔了兩個“半音”。這也就是“全”、“半”這種叫法的根據。

既然C#被認為是從C“升”了半音得到的，那麼C#也可以被認為是從D“降”了半音得到的，所以C#和Db（讀做“降D”）就被認為是等價的。事實上，5個新加入的音符也可以被寫做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。

這種12聲音階在音樂界的地位，我隻用舉一個例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對應的就是原來7聲音階中的C、D……B，所有的黑鍵對應的就是12聲音階中新加入的C#、Eb……Bb。

從7聲音階發展到12聲音階的做法，在西方和東方都出現得很早。《管子》中實際上已經提出了12聲音階，後來的中國音律也大多是以“五度相生律”的12聲音階為主。畢達哥拉斯學派也有提出這12聲音階的。不過西方要到中世紀晚期才重新發現它們。

12 五度相生律的修正：從12聲音階到十二平均律

能不能把“五度相生律”的12聲音階再往前發展一下呢？可以的。12聲音階的依據就是（3/2）^12≈129.7，和2^7=128很接近，按照這個思路，繼續找接近的值就可以了嘛。

還有人真地找到了，此人就是我國西漢的著名學者京房（77 BC-47 BC）。他發現（3/2）^53≈2.151×10^9，和2^31≈2.147×10^9也很接近，于是提出了一個53音階的新音律。要知道古人并沒有我們的計算器，計算這樣的高次幂問題對他們來說是相當麻煩的。

當然，京房的新律并沒有流行開，原因就是53個音階也太麻煩了吧！開始學音樂的時候要記住這麼多音符，誰還會有興趣哦！但是這種努力是值得肯定的，也說明12聲音階也不完美，也确實需要改進。

“五度相生律”的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的頻率比例有兩種（自然半音和變化半音），而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2187:2048）/（256:243）≈1.014。好像差不多哦？但其實自然半音本身就是256:243≈1.053了。

如果12聲音階是真正的“等差音高序列”的話，每個半音就應該是相等的，各個音階就應該是“等距離”的。也就是說，真正的12聲音階可以把一個八度“等分”成12份。為什麼這麼強調“等分”、“等距離”呢？因為在音樂的發展過程中，人們越來越覺得有“轉調”的必要了。

所謂轉調，其實就是用不同的音高來唱同一個旋律。比方說，如果某一個人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），樂器為了給他伴奏，得在C～高音C之内彈奏旋律；如果另一個人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），樂器得在D～高音D之内彈奏旋律。可是“五度相生律”的12聲音階根本不是“等差音高序列”，人們會覺得C～高音C之内的旋律和D～高音D之内的旋律不一樣。特别是如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會很明顯。可以說，如果鋼琴是按“五度相生律”來決定各鍵的音高，那麼隻要旋律中涉及到許多黑鍵，彈出來的效果就會一塌糊塗。

這種問題在弦樂器上比較好解決，因為弦樂器的音高是靠手指的按壓來決定的。演奏者可以根據不同的音域、旋律的要求，有意地不在規定的指位上按弦，而是偏移一點按弦，就能解決問題。可是鍵盤樂器（比如鋼琴、管風琴、羽管鍵琴等）的音高是固定的，無法臨時調整。所以在西方中世紀的音樂理論裡，就規定了有些調、有些音是不能用的，有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風琴，為了應付可能出現的各種情況，就預先準備下許多額外的發音管。以至于有的管風琴的發音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規則上的缺陷，導緻一方面作曲家覺得受到了限制，一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。

問題的根源還是出在近似值上。“五度相生律”所依據的（3/2）12畢竟和27并不完全相等。之所以會出現兩種半音，就是這個近似值造成的。

對“五度相生律”12聲音階的進一步修改，東、西方也大緻遵循了相似的路線。比如東晉的何承天（370 AD－447 AD），他的做法是把（3/2）12和27之間的差距分成12份，累加地分散到12個音階上，造成一個等差數列。可惜這隻是一種修補工作，并沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把（3/2）12和27之間的差距分散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的3/2的比例關系（這個“純五度”是一個音階中最重要的和諧，即使是在12聲音階中也是如此），這種分散注定不是平均的，最好的結果也是12音中至少有一個“不在調上”。如果把差距全部分散到12個音階上的話，就必須破壞C和G之間的“純五度”，以及C和F之間的4/3比例（術語是“純四度”）。這樣一來，雖然方便了轉調，但代價就是音階再也沒有以前好聽了。因為一個八度之内最和諧的兩個關系――純五度和純四度――都被破壞了。

一直到文藝複興之前，西方音樂界通行的律法叫“平均音調律”（Meantone temperament），就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下，把（3/2）12和27之間的差距盡量分配到12個音上去。這種折衷隻是一種無可奈何的妥協，大家其實都在等待新的音律出現。

終于還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個八度内均分12份嗎？直接就把2:1這個比例關系開12次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應該是21/12。如果12音階中第一個音的頻率是F，那麼第二個音的頻率就是 21/12F，第三個音就是 22/12F，第四個音是 23/12F，……，第十二個是 211/12F，第十三個就是 212/12F，就是2F，正好是F的八度。這是“轉調”問題的完全解決。有了這個新的音律，從任何一個音彈出的旋律可以複制到任何一個其它的音高上，而對旋律不産生影響。西方巴洛克音樂中，複調音樂對于多重聲部的偏愛，有了這個新音律之後，可以說不再有任何障礙了。後來的古典主義音樂，也間接地受益匪淺。可以說沒有這個新的音律的話，後來古典主義者、浪漫主義者對于各種音樂調性的探索都是不可能的。

這種新的音律就叫“十二平均律”。首先發明它的是一位中國人，叫朱載堉（yù）。他是明朝的一位皇室後代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算開方的辦法（珠算開12次方，難度可想而知），首次計算出了十二平均律的正确半音比例，其成就見于所著的《律學新書》一書。很可惜，他的發明，和中國古代其它一些偉大的發明一樣，被淹沒在曆史的塵埃之中了，很少被後人所知。

西方人提出“十二平均律”，大約比朱載堉晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當時西方音樂界對于解決轉調問題的迫切要求。當然，反對“十二平均律”的聲音也不少。主要的反對依據就是“十二平均律”破壞了純五度和純四度。不過這種破壞程度并不十分明顯。

13 三分損益法(五音十二律)

在司馬遷的《史記》“律書第三”中寫到∶“……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。”

意思是取一根用來定音的竹管，長為81單位，定為“宮音”的音高。然後，我們将其長去掉三分之一，也就是将81乘上2/3，就得到54單位，定為“徵音”。将徵音的竹管長度增加原來的三分之一，即将54乘上4/3，得到72單位，定為“商音”。再去掉三分之一（三分損），72乘2/3，得48單位，為“羽音”。再增加三分之一（三分益），48乘4/3，得64單位，為“角音”。而這宮、商、角、徵、羽五種音高，就稱為中國的五音。

中國音樂中用來定音律的“三分損益法”，與古希臘“畢氏學派”中的“五度相生律”的方法相同。

在聲學中，聲音的高低（如西洋音樂中的唱名Do、Re、Mi、Fa……）指的是與物體振動的頻率。當我們取一簡單物體用來定音高時（如竹管、絲弦），則它的頻率與其長度是成反比的關系。如果物體的材質固定，長度愈長，聲音愈低。

除此之外，當長度減為一半時，頻率将變為原先的兩倍；長度增成為原先的兩倍時，頻率成為原先的一半。我們将這種互為二倍數的特殊比例，定義為彼此互為“八度音”。所以“三分損”（長度變為原先的2/3）與“三分益”（長度變為原先的4/3），彼此之間正是一個“八度音”的關系（4/3 是 2/3 的兩倍）。由此，我們便可以從九九八十一的長度出發，試算前述藉由“三分損益”求得的長度，所得到的十二律∶

黃鐘∶81；

林鐘（由黃鐘三分損而來）∶81 * 2/3 = 54；

太簇（由林鐘三分益而來）∶54 * 4/3 = 72；

南呂（由太簇三分損而來）∶72 * 2/3 = 48；

姑洗（由南呂三分益而來）∶48 * 4/3 = 64；

應鐘（由姑冼三分損而來）∶64 * 2/3 = 42.6667；

蕤賓（由應鐘三分益而來）∶42.6667 * 4/3 = 56.8889；

大呂（由蕤賓三分益而來）∶56.8889 * 4/3 = 75.8519；

夷則（由大呂三分損而來）∶75.8519 * 2/3 = 50.5679；

夾鐘（由夷則三分益而來）∶50.5679 * 4/3 = 67.4239；

無射（由夾鐘三分損而來）∶67.4239 * 2/3 = 44.9492；

中呂（由無射三分益而來）∶44.9492 * 4/3 = 59.9323；

清黃鐘（黃鐘的高八度音，由仲呂三分損而來）∶59.9323 * 2/3 = 39.9549。

我們注意到最後一個“清黃鐘”的長度39.9546，與直接取“黃鐘”長度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，這就是“黃鐘不能還原”的問題。因為在連乘十二次 2/3 或 4/3 後，最後的值不可能達到原始的 1/2。

另外，若在定律時不斷地使用三分損益的操作，最後一定會出現除不盡的小數，使得在實際制作時容易産生誤差。然而在現實上，準确度（Percision）與精确度（Accuracy）絕對有其極限，所以經過十二次的三分損益之後，已經可以構成一個（不甚完美）的音階循環。這也是為何中西音樂理論中，都不約而同地發展出以“12音階”為主流的原因。之後才會出現如純律、十二平均律等不同的改進或修正方法。

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