一元二次方程的解法是我們再熟悉不過的數學知識，但一元三次方程的解法似乎并不廣為人知，而了解四次方程解法的就更少了。當然，解三次和四次方程都是有判斷法則和求根公式的，這和二次方程是類似的。那麼一個自然的問題是次數高于四次的一般代數方程有沒有求根公式呢？也就是能不能利用系數把解表示出來呢？

對于十六世紀的代數學而言，解三次和四次方程就是最大的難題，這一問題最終由意大利數學家塔爾塔利亞和卡爾達諾所解決。他們解四次方程的思想是通過變量替換獲得一個三次方程，通過解這個三次方程就能獲得原四次方程的解，于是很多數學家都想通過模仿這一方法來獲得高次方程的根式解。歐拉，高斯，拉格朗日這樣當時最偉大的數學家都做過嘗試，但最終都失敗了。拉格朗日甚至發表了長篇大論，詳細分析了三四次方程的解法，指出這種方法不可能适用于高次方程，最後拉格朗日驚歎：“高次方程的根式解是不可能解決的數學問題之一，這是在向人類的智慧挑戰！”

在拉格朗日之後，意大利數學家魯菲尼開始猜測高次方程沒有根式解，但他終其一生也沒能取得突破，隻是得到了猜測：

如果方程有根式解，那麼這一根式必定是方程的根和單位根的有理多項式。

阿貝爾

第一個真正取得突破的數學家是來自挪威的年輕人阿貝爾（1802~1829），他發展了拉格朗日關于“根的置換”的數學思想，并且提出了“域”和“不可約多項式”的概念。利用自己的理論，阿貝爾修正了魯菲尼的猜測，并最終嚴格證明了：

如果一個方程有根式解，則這個表達式中的每一個根式都是方程的根和某些單位根的有理函數。

利用這個重要的結論，阿貝爾最終證明了高于四次的一般方程沒有根式解！不僅如此，阿貝爾還成功構造出了任意次數的代數可解的特殊方程，但他還是遺留了一個問題，那就是如何判斷一個給定的方程是否根式可解，例如高斯曾經證明過方程X^p－1=0有根式解，其中p為素數。但天妒英才，阿貝爾在僅僅27歲之時，便因貧困交加而抱憾離世。

伽羅瓦與伽羅瓦理論

所幸的是，在阿貝爾之後，法國天才數學家伽羅瓦（1811~1832）繼承了他的思想，并進一步發展了相關理論，特别地，伽羅瓦深入研究了置換群論，徹底弄清了方程與根之間的關系，并最終形成了如今強大的伽羅瓦理論。伽羅瓦的工作是在拉格朗日、高斯和阿貝爾等前輩的啟發下完成的，他創造性地引入了置換群、子群和正規子群等群論的概念，這些概念已經成為代數學中最重要和最基本的東西。

伽羅瓦利用置換群來描述方程根之間的對稱性，這樣的群後來被稱作“伽羅瓦群”，進而他得到了判斷方程是否根式可解的基本定理：

一個方程根式可解的充要條件為：方程的伽羅瓦群為可解群。

特别地，高于四次的方程不可根式解這一結論成為了伽羅瓦理論的直接推論。這是因為n次方程的n個根組成的置換群是對稱群Sn，這個對稱群的極大正規子群是交錯群An, 但當n>4時，An是非交換的單群，因而其不是可解群，進而Sn不是可解群，故最終得到高次方程不可根式解的結論。至此，伽羅瓦徹底解決了這一幾百年懸而未決的數學難題。在此之前，阿貝爾已經得到了這一結論，不過由于他沒有太多群的概念，盡管創造性地使用了“域”，但還是緻使證明非常冗雜而難以推廣，這也是為什麼阿貝爾無法對對一般方程根式可解性進行判斷的原因所在。

以如今的眼光來看，“群論”無疑是解決這一問題的靈魂，而伽羅瓦就是這一理論的締造者和開拓者。“群”的概念實際上在拉格朗日時代就有了，但拉格朗日絕對沒有意識到方程根的“群”會和方程本身産生如此深刻的聯系。伽羅瓦的天才之處正在于，他通過群的思想來細緻描述域的特征，也就是建立了伽羅瓦群的子群與擴域的中間域之間的一一對應，從而把問題完全轉化成為了群的理論。如今，群論的思想早已滲透到了各種各樣的學科之中，成為了強大的數學工具。

更令人瞠目結舌當是，完成這一壯舉時伽羅瓦還不到22 歲！這完全是亘古未有的數學奇迹。伽羅瓦這樣的絕頂數學天才在整個人類曆史上也是屈指可數的，但非常可惜的是，伽羅瓦和阿貝爾一樣英年早逝 ，在22 歲的時候，伽羅瓦因卷入一場決鬥而喪命，在此前一晚，他奮筆疾書，這才緻使他偉大的思想不至于永遠埋沒。

伽羅瓦手稿

前面我們對伽羅瓦理論作了一個非常祖略的簡介，但伽羅瓦理論看起來仍然十分抽象，接下來就結合一些具體例子來看看這一理論到底有多強大。

尺規作圖是非常古老的幾何問題，它要求我們僅僅利用圓規和無刻度直尺來完成一些操作，例如平分某個特定的角度，作出已知直線的垂線等等。但看起來如此簡單的尺規作圖卻産生了一些困惑數學家長達千年的難題，其中最著名的就是正多邊形的作圖問題和“三大作圖難題”。

正多邊形的作圖問題

高斯誤把老師留下的千年難題當做作業，并且通宵完成了的故事相信大家都有所耳聞，而高斯所解決的這個問題就是隻利用尺規作出了正十七形，這也是他一生的得意之作，在高斯去世後，他的墓碑上就刻有一個正十七邊形。正三邊形和四邊形是很容易尺規作圖的，但邊數更大時，這就變成了一個複雜的問題，而且一個更本質的問題是：哪些正多邊形是可以尺規作圖的？

正十七邊形的作法

利用伽羅瓦理論，可以給出一個相對完滿的結論。首先一個作圖問題可以歸結為一個代數方程，作圖的可行性等價于方程是否可以利用平方根表達出來，而由伽羅瓦理論表明：

方程可以利用平方根求解的充要條件為伽羅瓦群的階為2的方幂。

于是我們得到：

邊數為素數p的正多邊形可以尺規作圖的充要條件為p的形式為2^（2^n 1），其中n為非負整數。

那麼我們可以看出，當p=3，5,17,65……時，可以作出相應的正p邊形，而偉大的高斯僅僅是具體實現了正十七邊形的情況。

三大作圖難題

接下來我們再來看“三大作圖難題”的情形，它們分别是：

1.立方倍積問題， 即求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍。

2.化圓為方問題， 即作一正方形，使其與一給定的圓面積相等。

3.三等分角問題， 即三等分一個給定的任意角。

對于這三個問題能否利用尺規完成，數學界探索了将近兩千年。由解析幾何的知識，直線和圓的方程最多隻是二次的，因此尺規所能作的隻是給定量經加減乘除和開平方運算後的量，也就是說，按照伽羅瓦理論，已知量滿足的方程有解的伽羅瓦擴域最多是二次的。

其中化圓為方問題等價于能否作出一條直線，使得它的長度等于給定半徑的圓的周長。德國數學家林德曼在1882年證明了π的超越性，也就是π不是任何有理系數方程的根，那麼利用伽羅瓦理論就知道，長度為π的直線是不可作的，于是化圓為方問題得到徹底解決。

再來看立方倍積問題，不妨設已知立方體邊長為1，那麼所求立方體的邊長為方程x^3-2=0的解，此方程在有理數域上無解，而有解的伽羅瓦擴域是3次擴域，故由伽羅瓦理論，此方程無平方根式解，那麼當然是尺規作圖無法完成的。

而最後的三等分角稍微複雜一些。首先我們有三倍角的餘弦公式：

以角度α=60度為例，令x=cosα，得方程8x^3-6x-1=0,它在有理數域上無解，有解的伽羅瓦擴域也是三次的，因而60度無法利用尺規三等分。但這個問題并不像前兩個那樣是完全否定的，例如當α=90度時，它所滿足的方程有解的擴域次數就是符合我們要求的，因而直角可以三等分，一個簡單的作法如下圖：

至此，利用伽羅瓦理論，讓無數數學家望而生畏兩千多年的三大作圖難題得到徹底解決，然而這僅僅是伽羅瓦理論的一個簡單應用而已！阿貝爾和伽羅瓦都隻活了二十多歲，但他們的天才，他們的成就，卻已經足足影響甚至是決定了今後兩百年代數學的發展。伽羅瓦理論無疑是非常偉大的，但更偉大的是它背後的這些數學家們。

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