講座：如何培養數學自學能力

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二維碼有效時間2019-6-18

導語

數學能力并非連續發展，隻有幾個穩态，不真正達到目标狀态，考試結束後會迅速退化；學習數學，必須以智力躍遷為目标，而不是知識的記憶，套路的積累。

活動｜圖靈編程第四期免費沙龍

主題｜如何培養數學自學能力

時間｜5月21日 20:00

嘉賓｜陳詩峰、林瀚

記錄｜圖靈編程

好玩的數學獲授權轉載

陳詩峰

1999年畢業于中山大學計算機系，現就職于暨南大學大數據研究院擔任首席架構師，兼任廣東省初等數學學會數學文化委員會主任，一直熱心于在中小學生中推廣數學哲學、文化和科普等。目前主要研究方向是超大規模圖上的并行算法。

林瀚 博士

圖靈編程總教練

中山大學數據科學與計算機學院教師

中山大學ACM國際大學生程序設計競賽教練，曾帶隊多次獲得ACM國際大學生程序設計競賽亞洲區金牌

曾擔任NOIP評委，在信息學奧賽領域裡有很豐富的教學經驗。

在2018年ACM國際大學生程序設計競賽全球總決賽獲得全球第14名。

輔導學生獲 2018年NOIP提高組一等獎 5 人，二等獎4人；普及組一等獎18人、二等獎21人。

以下是講座内容

主持人：圖靈編程歡迎來參加《如何培養數學自學能力》講座的各位朋友們，大家晚上好！今天晚上很榮幸請到資深青少年教育專家陳詩峰老師來給大家詳細探讨關于青少年數學自學能力培養等相關話題。

主持人：主講人陳詩峰老師1999年畢業于中山大學計算機系，現就職于暨南大學大數據研究院擔任首席架構師，兼任廣東省初等數學學會數學文化委員會主任，一直熱心于在中小學生中推廣數學哲學、文化和科普等。目前主要研究方向是超大規模圖上的并行算法。陳詩峰老師在青少年教育，特别是數學和編程方面特别有心得。

主持人：除此之外，陳老師的家庭教育非常成功。他的女兒君君在圈内是知名的天才少女，上次講座的時候獲得丘成桐中學科學獎，前不久又有數學論文被歐洲組合數學大會收錄。

下面有請陳詩峰老師分享。

陳詩峰老師：各位家長好，非常高興，今天晚上能夠跟大家一起來分享一下關于怎麼自學數學這個問題，我想這是初中以上的家長很關心的一個問題，因為現在學生的學習壓力也很大，能夠自主控制的時間相對比較少，怎樣能夠讓小孩子同時能夠應付好課内的功課，或者比較好的成績又同時對他下一階段的長遠的學習，培養一個自學的能力，我們知道在後面大學甚至前一點高中這個數學的自學能力是至關重要的。

陳詩峰老師：在這裡我先想傳達一種我的基本的觀點，就是一個人的數學的能力，它的發展并不是連續性，而是階段性的，一個台階到另外一個台階跳躍式的，但是我們表面看來它是一個連續性的發展，因為我們可能通過很多課内的練習、習題，這樣子去訓練它，讓它不停的考試，覺得他學了又學了，那麼其實從數學的能力來說他是一個層次突然躍升到另外一個層次，比如說從算術突然躍升到代數，從代數突然躍升到微積分，這種整個數學思想是體系性的變化的。

陳詩峰老師：如果你不是通過一個良好的自我理解、自我學習而産生這種自發性的躍遷的話，這個數學的能力很容易出現一種現象：好像是在那個台階，但是一旦你不訓練不刷題不考試那麼很快就會退回來的這樣一種現象，這種現象我們就稱為數學能力退化現象，這種現象在成年人的身上特别明顯，也就是說大學畢業之後好多成年人他的數學能力是迅速退化的。原因是為什麼呢？我們可以解釋為用進廢退，但其實根本性的原因，他們這些數學能力的獲得,特别是高級的數學知識的獲得 ，它不是通過自學而獲得的，不是通過自己的學習努力理解去獲得的，而是通過一些外在的知識的植入，做一些模仿性的訓練，技巧性的訓練，讓你感覺你獲得了這個知識和理解了這個知識。

陳詩峰老師：其實一旦不使用它又忘記了，它就好像一個條件反射那樣子，不訓練就沒有了，而不是成為一個真正的神經連接，靜态連接存在于你的大腦裡面。

陳詩峰老師：所以，我們給予小孩一個學習的目标，我們是希望他能夠真正形成這個能力的層次性的躍遷而不會倒退的，而這種以層次躍遷為目标的學習，肯定就不僅僅是依賴于知識的灌輸、記憶、習題的積累這樣一種方法，而是要培養他更重要的就是自我學習和自我去參悟的這種數學概念這種能力。

陳詩峰老師：這是一種相對來說是一種高級的數學能力，比如說抽象思考的能力，對這個概念内涵的把握能力，那麼這種能力的獲得，這種認知習慣的獲得，必須要依賴于試錯，反複的試錯，也就是說你必須在錯誤中學習，你開始以一種有偏差的理解去把握的概念出現了錯誤，這個錯誤通過一些實踐發現他錯誤之後，才恍然大悟，再重新糾正到正确的軌道，這叫作試錯，而我們目前好多學習是老師把所有東西都消化過，然後把那些多餘的東西、粗糧全部去掉，讓你要學生吃那個反刍過的營養，這種學習方式當然是進度很快，很少有偏差，但是他是沒有辦法獲得從舊知識躍遷到新知識的這個思維的能力。

陳詩峰老師：然後就沒辦法看得清楚錯誤與正确的邊界，這個知識的内涵他就勾勒不出整個輪廓來，那麼這樣深刻掌握一個知識，我們肯定是要随時能夠勾勒出它的邊界，比如說我們要理解什麼叫數學上的連續，一條曲線怎麼才是連續的，那麼必須要很準确地說出什麼是不連續，随便可以構造無限個反例，無限種不連續的狀态出來，這叫知道了、掌握了它的邊界，掌握它的内涵，就是正确與不正确之間的邊界，就是要準确地理解這個概念。我們知道凡是越過正确與錯誤邊界，那肯定會經常出現試錯的情況，那麼這種試錯就是以時間來換深度。

陳詩峰老師：我們來再看一下，事實上在一個學生的學習裡面它有很多種類型的學習，有課内的學習，有為考試的學習，還有競賽的學習對不對？在各種學習裡面，它根據驅動力來分類，它分為很多種，有一種是好奇心驅動的學習，這是人類最原始最本能的一個學習方式的動力，那麼更普遍的當年紀大了之後，它就會有一些利益驅動的學習，比如說考試成績的驅動、升學的驅動，工作需要你去學習這樣的驅動，還有一種就是責任心和榮譽感驅動的學習，那麼當然什麼是責任，這個責任就有不同層次的理解。

陳詩峰老師：可能小的時候理解我對父母有責任，父母花了很多錢讓我去上學是吧？到後面可能就理解為這個工作要做好就要學習好，你對這個學科有了認識之後，比如說我要為人類的認知、為人類的智力的拓展承擔責任，這是一種更崇高的責任感，這個責任感是分層次的，層次高低是随着你的學習和理解的深入程度不同而不同。還有一種情況，如果你僅僅是用利益驅動來進行學習的話，很容易造成一種不學習的狀态，比如說你到了畢業之後，若幹年裡你完全是不需要再學習了，你就是靠過往的人脈、資源、位置就可以應付你的工作和生活，而且活得很好，那麼就會出現不學習的情況。

陳詩峰老師：但是有另外一種類型的人,他就會終身學習，他把學習這種東西内化了，而他把學習本身的責任感和榮譽感内化了，他作為一種個人的追求而去學習，所以他就保持一種終身學習的能力，當然我們都希望自己能成為一個終身學習的人，那麼怎麼才能夠成為終身學習的人，起碼是要能夠在學校階段培養出自學能力，你才有能力去終身學習。

陳詩峰老師：為了達到一個終身學習的狀态，我們就需要從小訓練自己的自學能力。自學的前提，當然就是有閑暇的時間，當前學生有一個很大的問題，我也是在最開始的時候已經說了，當前學生功課，作業很多，還有課後補習的現象非常普遍，能夠自由掌握的時間很少。當然這個問題是可以解決的，我後面會展開說，其實不存在我根本沒有自學時間的問題，我多次跟同學們強調過，時間不存在有沒有的問題，而存在你怎麼安排時間的優先順序問題，時間表怎麼安排的問題。

陳詩峰老師：另外第二點要實現自學要培養一種做事情持之以恒的性格，這個是相輔相成的，你越堅持着自學這個事情，你這個性格就越穩定，這個性格怎麼起步去學習，這個就需要家長的鼓勵，和自我的目标設定；第三點就是需要具備時間管理的能力，我們在自學的話，它是比較花時間的，你怎麼平衡學校功課的時間，補習的時間和自學的時間，你必須要有很好的時間表，然後很好的執行這個時間表。

陳詩峰老師：當我們具備了自學的三個前提之後，我再來解釋一下什麼叫整個自學的完整過程。自學顧名思義，它就是自己制定學習的目标，因為我們學生平時都是老師幫你定目标，家長幫你定目标，然後你就去執行，就可以了對吧？你比如說我的目标就是中考，目标就是高考，但是作為自學來說，你首先要自己确立一個目标，比如說我要自學微積分，我是想搞懂某某某的問題，以問題為目标是最好的，當然最好不要用太功利的目的作為目标。

陳詩峰老師：第二點就是自己制定學習計劃，平時是老師幫你定計劃，每天安排的題目安排得滿滿的，那麼自學就是在你定了目标之後，你就安排這個學習的計劃，就是時間計劃，什麼時間學什麼東西。第三點，就是要自己評價這個學習效果，那麼我們知道非自學的話，課内自學她有考試去評價你的效果，那麼自學怎麼去評價教學效果呢？學習效果的評價的方法有很多，首先你可以去做本身自學有配套的習題，另外可以跟你自學的那個目标，這些水平比較高的人進行讨論，從讨論中你會比較準确的評價到自己的學習效果。

陳詩峰老師：另外我想提2點，就是說超前學習和自學的關系。我知道很多同學都在超前學習，這在某種程度上可以認為是自學。超前學習有很多是在老師的幫助下超前學習的，這個就不能夠嚴格的意義上說是自學，隻是說你找老師把你用更快的進度去教你學而已，如果是純粹是自發的超前學習也可以算是某種意義上的自學，但是自學它不僅僅局限在課本的内容，我是不主張學生僅僅是自學教材的，那麼課外的數學閱讀，也是數學自學的一個非常重要的手段，也就是說你在橫向也有很多很好的數學。

陳詩峰老師：經典的著作是值得自己去看的，我記得80年代90年代就有很多這一類的跟年紀平行的數學小冊子，這些小冊子都是可以自己去看的。奧數也可以作為自學的一部分内容，肯定不是全部，因為奧數顧名思義，就是奧林匹克數學，為競争而設計的一些解題技巧需要比較高的解題技巧的題目和内容，這個數學知識還是初等的知識為主。數學如果你是要自學我覺得就要把目标放得更遠一點，我們要學真正的，更抽象的更具有深刻内涵的數學，把數學的眼光放遠一點。

陳詩峰老師：自學的手段有很多種，我們每個人的性格不一樣，就可能有多種方法，我這裡推薦幾種自學的手段。我認為最好的方法還是看真正數學家寫的數學著作，包括任何知識點，其實都是有數學家寫它的經典著作的，特别是有不同曆史階段的，現在互聯網非常發達，都可以找到，書也可以買到，電子版也可以找到，比如說代數也有很多經典的代數學家寫的作品，幾何也有很多經典的幾何學家寫的作品，這些可以從中選擇一些經典的來讀，這個比讀教材要好，另外如果是比較方便上網的話，可以看一些著名大學的慕課，比如說耶魯大學、哈佛大學。

陳詩峰老師：如果英文不太好可以看中文的，中國也有慕課課程，像北京大學、台北大學，都有這種很好的數學慕課，而且有很多是中學生都可以看明白的，看不明白其實也沒關系了，可以先留着問題繼續看，另外我是強烈建議大家利用互聯網手段在自學的過程中，可以對一些概念進行深度的拓展，就可以上去查那個維基百科，維基百科的詞條裡面，它的描述是比較全面的。

網友讨論，這個涉及很多，比如國外有Quora，國内百度有很多貼吧，這個都可以的。

陳詩峰老師：自學的重點首要是要學通，不要以記憶和模仿的方式去自學。

因為自學的特點，就是可以自己控制進度，有一個自學的誤區就是盲目的追求速度，其實正是因為自學，所以我們要把速度可以放慢點，一旦遇到一些理解上有障礙的概念，切勿囫囵吞棗，以做課後習題來騙自己說我已經弄懂了這個概念，如果概念沒想通的話要把它停下來多停留點時間，允許自己卡一段時間，然後等待這個頓悟。

陳詩峰老師：所以自學我們是要把理解概念放在第1位，因為數學其實最核心的東西就是抽象，而抽象最核心的就是合理的概念設計，如果将來大家在大學裡面學到高等數學或者更抽象的數理邏輯的，這個東西是最為關鍵的，而這種能力如果在中學的窗口期不形成的話，到大學會非常吃力。

陳詩峰老師：既然是自學我們沒有這個考試的壓力的話，我們對學習的内容其實可以進行一些更抽象的哲學性的思考，比如說我們學到集合的時候，我們可以想世界上有沒有一個包羅萬有的集合，集合如果是很完整了，他一定就不完美了，類似這樣的這樣一種哲學思想能不能應用到這個數學的知識裡面，在很多情況下其實是可以的。

陳詩峰老師：自學也有一種毛病，就是自學的人可能由于沒有壓力也會懶于做習題，但是我還是建議自學者，還是要做一定的有挑戰性的習題來檢驗自己的學習成果。

陳詩峰老師：另外自學的話要願意為某一些自己不懂的問題，花比較長的時間，我不知道大家有沒有試過，小孩願意花多長時間去思考一個問題而不看答案的啊，有一些是一個月。

陳詩峰老師：因為現在的學生有很多習慣，一旦思考一個問題10來分鐘甚至半小時不懂的話，他肯定要急着看答案，其實這個思維習慣不是很好的，我們數學研究的能力就是要為一個問題能夠思考長時間，如果能夠思考一天，思考一周思考一個月，就算一個月不懂，我們也不管他、很多問題，這樣長期的思考的話，它真正就會形成我前面說的有一天你會突然所有問題都懂的，然後就産生了層次上的變化。

陳詩峰老師：另外自學者也可以給布置給自己布置一些作業，所謂作業的意思就是要要求書寫的，那麼書寫的時候要注意表達的規範性，要多看一些這些大家寫的證明過程，比如說有本書叫做天作之證，它裡面寫了100個非常之巧妙經典的證明，那麼這些證明的過程都是可以模仿和參考的，另外如果能夠找到高水平的老師和朋友去就你自學内容進行讨論那是最好的。

陳詩峰老師：自學過程中會遇到很多困難，這個是必須要調整自己的心理狀态去解決的，就有些數學問題，有些數學難題有些對遇到這個智商的瓶頸，它并不是說你用力就能夠解決的。

陳詩峰老師：首先我們作為自學者或者家長，應該要保持一個佛系的心态，我們是以興趣為向導，以鍛煉他的意志力和這個對數學學科本身的責任感、興趣為向導這樣去自學，而不是說我一定要超越某某某、超越某某同學，然後超越哪個标準這樣子學，這樣就會很焦慮，甚至比校内學科焦慮。

陳詩峰老師：考試有成敗、競争有成敗，但是學習數學是沒有成敗的，你認定了一個求知的方向之後隻有順利與否，要培養這樣一種價值觀，就說我學習前人、最聰明的人，他保留下來的那個智力的成果，那麼隻有快慢順利的問題而不存在我學成功學失敗了的問題，抱着一種隻有順利不講成敗、隻講是非、不講利弊，這樣一種心态，那麼就會使你的對這個學科産生一種比較虔誠的态度，而其實這種自我的學習态度和自我的這個道德的定位對學習能力也是有很大影響的。

陳詩峰老師：另外自學過程中既然定了自學，我們要堅持獨立思考，可以後面找人讨論，但是在研究問題開始和早期的時候要盡量的自己獨立思考，不要過早的去看答案，找老師，想都不想就去讨論區找資料，這樣是不好的，我們一定要擺脫有一個東西要别人教我才能夠學得會這樣一種依賴，這樣一種路徑的依賴，很多東西應該是我自己想辦法去搞懂，這種想辦法搞懂就是一種要堅持獨立的去搞懂，最好是我一個人DIY就能搞懂的，不應該一碰到知識點，我馬上就去打電話問人，這樣是不好的。

陳詩峰老師：因為不逼一逼自己是沒辦法逼出自己這種每個人超越性的部分，就是人看似平常能力是有極限的，但是其實每個人都有超越自己目前能力的這種能力，這種超越性的能力，這種超越性能力是在困境之中堅持獨立思考而激發出來的。

陳詩峰老師：我們對數學自學的目标設定之後，那麼此時就要堅持一種日久生情的态度了，就是說開始的時候這個東西可能很難懂，自己去學很困難，虐你千百遍，虐多了就喜歡了。我看過很多自學的例子都是開始的時候真的是覺得有點甚至被吓壞的，但真正能夠最後學通的人都是抱着一種日久能生情的心态，真的學多了就真的去學懂了，第1遍看不懂，看第2遍，第2遍看不懂，看第3遍，第3遍看不懂看第4遍，其實每一遍都在加深的，隻是他有這種日久生情的這種信念。

陳詩峰老師：我來簡單說一下一些建議的原則，就是說首先循序漸進是一個大原則，就不能夠一下子跳的太高，離開了自己的發展區，就比如說你你剛學會了加減乘除，你去學那個抽象代數了，這樣子就不符合數學曆史知識發展的規律，就說這這些知識也是經過幾百年很多聰明人一步步積累過來的你不可能一步登天。所以要循序漸進。

陳詩峰老師：第2點是英文教材優先，如果同樣的知識點有英文教材，可以看英文的經典教材，如果英文不好可以看中英對照版，就是有英文版的教材也有中文版教材對照着看，如果實在覺得不适應也可以看翻譯版的中文教材。總體來說經典的教材都是中國曆史的選擇都是英文版是最好的，所以盡量優先看英文的，而且英文裡面那個證明的書寫表達的規範性都會比較好。

陳詩峰老師：第3個原則就是不要淺嘗辄止，自學應該是穩紮穩打每一步學通、學深，既然是自學，我們就沒有人催着我們的進度，所以我們不能夠為了我知道這個東西，比如說你學微積分，就被記住幾個求導公式，記住幾個固定積分的公式，學幾個求極值的方法，那就滿足了。其實就沒有把實數理論準确的微積分的思想學通，那就失去了自學的意義。

陳詩峰老師：另外自學我們經常會遇到一些難題，這個很正常，因為自學的話我們沒有人給提示，可能老師教認為普通的問題我們會覺得難，但是我們應該要有耐性去鍛煉自己的思維的強度和韌性，堅持一段時間不看答案，慢慢的等這個思維去擴展去加深，其實答案很經常會出現，突然有一天會冒出來頓悟這種感覺的，這種對思維能力的躍遷是特别有用的。

陳詩峰老師：後面這是一些具體自學内容，這部分主要是針對中學生，有初等數論和組合數學、數理邏輯、圖論這部分是比較适合中學生的，因為它這部分内容，比較概念比較直觀，但是對數學修養的要求很高，所以是很适合中學生說第一列我是最推薦中學生自學的。

陳詩峰老師：第2列平面幾何接着進階可以有射影幾何，後面射影幾何的代數化，線性代數其中一方面，這部分也很重要，因為平面幾何是整個邏輯推理訓練的基礎，是初中數學裡面最重要一部分我認為，然後循着平面幾何基礎它可以繼續延伸到射影幾何，射影幾何就有更高的觀點，比那個歐氏空間的幾何，因為它射影幾何就是不關心距離的，這個幾何隻關心這個線點之間的關系，甚至他在隐身可以變成非歐幾何。線性代數就是這個對線性和射影幾何的一些代數，線性代數的其中一個幾何解釋，應該說就是射影幾何，但線性代數是遠遠超過這個射影幾何的範圍。

陳詩峰老師：對于高中生而言，我就推薦他們自學一下集合論、微積分和複變函數，這三部分是高中數學裡面沒有講的，高中講了集合的概念，但是遠遠沒有講集合論的。集合論是指公理集合論，微積分好像高中也講了一些很零散微積分的知識，但沒有系統的去介紹微積分的基礎理論，比如說實數理論，然後一些分析學的知識，如果自學的話可以更系統的學一下。複變函數理論其實也就是從實變延拓到複數，如果是分析學的話一般都是建立在複變函數基礎上。

陳詩峰老師：另外除了上述這些課程，他有一些經典教材之外，還有一些經典的數學定理介紹的書籍也是可以用來作為輔助性的自學，比如說我前面說過的一本書叫做Proofs from the book的，中文叫天作之證，這裡面介紹了好像100個，大家都認為是非常巧妙，不可能是人能夠構造出來的證明，所以說from the book就是說來自聖經的，就是天意的，上天授予給人的這樣一個證明，也可以看看這本書。當然也還有很多其他的，比如說100個經典的幾何定理，這樣一類書其實也是可以買回來自學的。

陳詩峰老師：最後一個問題，我就想說一下自學之後怎麼去評價自己的學習效果，也就是說怎麼輸出的問題，首先如果自學我學不懂怎麼辦呢？學不懂就沒有輸出了。沒有輸出，其實自學不一定要輸出一些你會解什麼題目，能夠提出好的問題，也是一種輸出；能夠提出猜想，提出好的問題，提出你的觀點，也是一種輸出。我們要必須要有這樣一種觀念，其實如果你能夠提出好的問題，你就能夠找到好的老師。

陳詩峰老師：在你提出了問題之後，你去找老師找資料、找朋友讨論，能夠找到初步的答案之後，你可以寫成小論文，把這個論文作為你自學的成果和輸出。

陳詩峰老師：當然也可以去參加一些開放性的數學比賽，比如說數學論文比賽、數學模型比賽，這些都是要求寫論文的，這個是比較能夠檢驗你的綜合的數學能力，可以檢驗你的自學成果。

陳詩峰老師：下面我先介紹一下我們夏令營的數學思維課，那我就簡單說兩句，本來我們圖靈隻有編程語言和算法的課程，這一次暑假夏令營，我們增加了數學思維課程，這是因為我們發現有好些學員，他們的編程學的進度比較慢，是因為他們的數學基礎不是很好，不單隻是數學知識的基礎了，主要還是對數學思維的能力比較弱，數學思維它又建立在這個對整個數學知識的系統性認識的基礎上，他就說他學了很多數學知識但是是分散的，他沒有把這個數學知識的邏輯内在的脈絡連通起來，所以我們想開這樣一個課程把從小學到高中的所有數學知識串通起來。

陳詩峰老師：他們是怎麼以一個數、從一個根,比如說從集合這個根，慢慢生成到自然數、負數、小數、有理數、無理數，然後生成了符号系統，怎麼生成了方程，怎麼通過方程去産生新的數，然後怎麼又産生幾何學和代數學的這個關聯，從這樣一個把整個知識脈絡梳理一遍之後，提升它的數學理解力和這個認知能力，從而幫助這個學生提高這個課内學習的成績，包括他們以後去上補習班，都會取得更好的效果，我們是這樣一個思想和課程安排，所以我們分為初級班和中級班，初級班會針對小學高年級到初中低年級，中級班針對能力比較好的小學高年級到高中高一高二都可以。

因為我們會貫穿整個從零開始、從空集開始一直到微積分的初步，整個課程内容就大概這樣安排，謝謝大家。

陳詩峰老師：非常感謝，我今天的分享比較粗略，有很多問題等一下再通過問答方式跟大家交流，現在我們請林瀚老師來談談他作為大學老師對大學生自學能力的一些要求和期望。

林瀚老師：我來講一下大學，我作為大學老師，我剛剛看到有朋友在問，小學階段怎麼培養數學思維，我先從小學生講起，其實剛剛詩峰講這一部分内容，說培養數學自學能力，我感覺可能很多家長以為專門針對初中生、高中生、大學生來講，其實我自己覺得并不是這樣。

林瀚老師：對于小學生來講，其實我覺得這個培養他的這種自學數學的習慣，其實我覺得同樣是很重要的，尤其是這些優秀的學習習慣，我覺得從越低齡的時候越早培養越好，但是可能有些家長會覺得那小學生，他自己看書都看不懂，談何培養數學的自學。其實并不是這樣，對一個小孩子其實他的這種好奇心是天然的，我們培養他的數學的這個自學未必就是說他自己去找一本數學書來看，還要找一本英文的數學書肯定不太可能，其實我們要引導他善于去發現問題，善于去提出問題我覺得這種對于小學生實際上是可以培養的，比如說我們說小孩子他很喜歡玩。

林瀚老師：比如随便舉個例子，比如說玩猜拳，那你這個時候你就可以開始引導她，問他說這個猜拳我們是不是可以有一種什麼樣的策略，我們跟别人玩是不是有一種什麼策略來使得我這個赢的概率能夠超過百，赢的可能他是聽不懂概率，赢的可能性可以更大一些，比我們随便亂出來這個赢的概率要大一些，那這就是一個很好的數學問題，他雖然不一定能夠自己給出一個答案，但它會促進他去思考，這就是一種很好的一種，不是說通過看書才叫自學數學。你願意自己去思考這些數學問題，然後自己去表述你的觀點，盡管這個時候也不一定能夠形成一個正确的答案，但是你這種思考的過程其實也是一種在自學數學的一種過程。

林瀚老師：小學階段是非常非常重要的，你一定要讓小孩子養成這種思考的習慣，養成他這種提問的習慣，這個我覺得培養出來了之後，你以後去自學數學的，我覺得很多事情實際上是比較水到渠成的。然後你慢慢到初中、高中，我覺得這個自學數學很重要的，家長可能會想說我小孩有這個自學數學的能力就不用把她送到校外的機構去學習，可能出于這樣的目的，但是我覺得培養好自學數學的能力，他帶來的好處遠遠不止于此的。

林瀚老師：自學數學相對于聽老師講課或者去外面的機構學習，其實它有一些不可替代的好處，我希望我們家長不要說我小孩自己在課内已經學了好多數學，然後在課外也給他報了很多數學的班，然後就覺得這個自學數學沒有必要了，遠遠不是這樣，我們自學數學的話相比于你去機構學習或者隻是在課上聽老師講課，其實有很多好處的，比如說剛剛詩峰其實也有講到一些方面，比如說你自學數學，你不需要太受這種外部的評價因素的幹擾，就是說你一個問題，剛詩峰也講到了，如果我是自學數學的話，那我可以一個問題我想不明白，那我可以暫時把它放着。

林瀚老師：你如果在機構或在學校那裡可能為了要跟上老師的進度，或者是說你這個問題我搞不懂，那你可能會受老師的批評或者怎樣或者你考試你都考的成績差，這個時候你就沒有辦法把它放下來，但是我們如果自學的話，我可以給自己留有充足的時間去思考，這個時候實際上這種思考可以讓你真正去享受到這種數學學習的樂趣的，一個問題我們思考的時間越長等到你哪一天突然間想明白了突然間頓悟了，這個時候你給你帶來的這種快樂跟你之前的這種思考，時間其實是成正比的，這個遠遠比一個什麼考試考100分這個帶來的樂趣，可能是會更大更持久的，這些事隻有你在自己在自學數學的時候你才有機會去體驗到。

林瀚老師：你在學校學數學或者在在機構裡面學數學的話，你自己學不會老師都替你着急，然後你的父母看你這個東西就是學不會可能也替你着急，所以我們作為父母的話，我們看到小孩有些問題學不明白沒有關系的，隻要他願意去思考這個事情比任何都重要。然後你自學數學還有很多其它方面的好處，比如說講到我大學，我在大學我教計算機，計算機要學很多數學，因為我們在大學裡面我們經常會有研究生入學的面試，或者平時跟自己的學生讨論問題，我就發現很多問題在數學上覺得比較重要，因為在考試裡面不太容易考得到，因為考試你可能考一些比較客觀标準的答案，比如選擇題這些,這些容易改嘛，或者是計算題，然後就難改的就是證明題，但這些也會出一些。

林瀚老師：但是有一些數學上的問題，他實際上不太适合出成一個筆試的的題目，但是我們對他面試的時候或者在平時跟學生讨論的時候的問題，因為我覺得這個對一個人數學素養其實是蠻重要的，比如說我們會經常問，比如說這個矩陣乘法，為什麼要做這樣一個定義。我就問一個數學概念為什麼要這樣去定義，這個在在平時的這個數學考試裡面其實是很難考到的，所以這些隻能靠你自己平時在學數學的時候你多去思考它，然後我們還會問你，比如說這個拉格朗日定理為什麼很重要，有人問你說為什麼這個定理很重要或者問你說這個定理A跟定理B你覺得哪個更重要一點，讓你來給出這個理由。這個對數學素養也是很重要的，因為這屬于一種數學審美。

林瀚老師：你在做研究的時候你要知道哪個方向是比較重要的，研究哪些問題是比較重要，哪些問題是不太重要，對于你這種一個數學素養的提高的話也很重要，但這些很多時候都隻能在你自學的過程當中去思考。你在課堂上或者在機構上去學習的話，你可能很多時候就隻是滿足于去刷題去考試，但這些的話是刷題考試這些是沒有辦法給你帶來的。我大概要分享的就這些了，接下來就由家長來提問。

主持人：感謝陳詩峰老師和林瀚老師的精彩分享。陳老師暑假将在圖靈夏令營開設數學思維拓展課程，如果感興趣的朋友可以了解一下。

圖靈教育2019年暑假數學、編程課程招生簡章

主持人：下面是交流分享時間，歡迎朋友們在評論區提問，陳老師會解答大家的問題。陳老師可以選取評論區問題上牆提到公屏，然後進行解答。

觀衆 佳：老師能否介紹一些經典著作？具體書名、版本、出版社之類的信息。謝謝！

陳詩峰老師：代數方面我推薦哈代的《大代數》。幾何方面我推薦一本書 《近代歐幾裡德幾何》。

觀衆 ya_ya：英文教材有推薦的嗎？

陳詩峰老師：Proofs from the Book。就是一本經典定理證明介紹書籍。

林瀚老師：Elements of Set Theory

觀衆 逸：請問自學新内容遇到難題的時候，是自己把難題憋出來，還是先看看答案。

陳詩峰老師：允許自己有些題目不懂，隻要經過深度獨立思考還是不懂就先放一放，也不急着看答案。

觀衆 佳：如果家長的數學程度有限，如何引導孩子堅持自學下去？因為孩子遇到難的問題，有時候可能怎麼都想不出來，讓他擱置、慢慢想，也許想着想着就會成一空想，從而喪失自學的興趣和熱情。

陳詩峰老師：自學之後最好到社區看看或者參與讨論。

林瀚老師：讓小孩自己選擇看不看答案，如果他不看自己想，就給他鼓勵。

陳詩峰老師：國外社區有aops，mathexchange等。

陳詩峰老師：想不出答案、還可以讓他猜想。這樣可以培養直覺能力和洞察力。

陳詩峰老師：國内好像比較少一些，多以不同主題的貼吧存在。

陳詩峰老師：國外還有一個歐拉計劃社區，是數學和計算機編程結合的社區。

林瀚老師：國内好的社區較少，知乎還可以。

陳詩峰老師：有一些數學公衆号會組織學習群。

陳詩峰老師：國外的warlfram社區也是很專業的。

林瀚老師：有強烈的好奇心的話，英文障礙不是問題。

觀衆 ♋佳佳Jackie：老師，請問能對小學階段的數學思維培養給點意見嗎？謝謝！

林瀚老師：小學一二年級就是培養提出問題和思考問題的習慣。

林瀚老師：鼓勵孩子多開腦洞。

觀衆 Jenny：感覺推薦的書都好專業，想知道入門的興趣培養的書可否推薦？小學二年級。

林瀚老師：華羅庚等的數學小叢書。

觀衆 佳：孩子跟着可汗學院自學，請問陳老師覺得這是一種好的方法麼？

陳詩峰老師：跟可汗學入門是不錯的。但是提高就不足夠。

觀衆 佳：明白了。也就是說在學習基礎知識的基礎上，下一步數學能力和素養的提高和遷躍就還是需要在經典中去汲取養分。

觀衆 春天的笑臉：能推薦下初中和高中的自學教材嗎？

陳詩峰老師：初中還是我推薦的2本書，哈代的《大代數》 和美國幾何學家寫的 《近代歐幾裡德幾何》。另外推薦學一本華羅庚寫的初等函數論。

陳詩峰老師：高中可以自學任何一本ZFC公理集合論入門。把數理邏輯的基礎打好。然後可以開始涉足微積分學。在自學完高中解析幾何的二次曲線部分内容之後，可以自學線性代數。

陳詩峰老師：好的教材很多。最經典是rudin的introduction to analysis。

陳詩峰老師：當然還有普林斯頓的微積分讀本也很不錯，重概念。教材多如牛毛。讀通需要時間和耐性。

觀衆 佳：ZFC公理是什麼。

陳詩峰老師：ZF是2個數學家名字的第一個字母，他們開創了公理集合論，C是Choice，選擇公理的縮寫。

觀衆 ya_ya：數學書一般都比較枯燥，如果單獨給孩子看還是比較難看透的，這種情況怎麼辦。

林瀚老師：一般喜歡思考問題的孩子是不容易覺得數學書枯燥的。

觀衆 Frank：《高觀點下的初等數學》這本書如何？

陳詩峰老師：高觀點下的初等數學是學高等數學比較深入之後看的書。

觀衆 ya_ya：想問下詩峰老師，小升初的孩子自學的書有推薦？

陳詩峰老師：小升初的孩子可以自學一下平面幾何。

觀衆 Frank：小學生不愛學數學，怎麼辦？

林瀚老師：要分析不愛數學的原因。

林瀚老師：小學不喜歡數學是正常現象，因為小學課内數學過于重視機械的計算。

觀衆 ya_ya：孩子看數學書如看故事書樣快，是不是沒有思考的在看？

陳詩峰老師：看書快有可能是天才，要看輸出，看完之後說了什麼寫了什麼。

觀衆 無學：剛進入高一，數學成績慘不忍睹怎麼辦。

林瀚老師：這是要多給孩子鼓勵，不要因為小學數學成績不好而否定他。

陳詩峰老師：是初中數學成績很好？高一慘不忍睹？

林瀚老師：高一數學成績差同樣要分析原因，不能一概而論。

觀衆 無學：是的。

陳詩峰老師：那建議學一點數理邏輯基礎知識，原因是代數上使用數理邏輯語言，特别是集合和函數的言語不适應造成。

圖靈教育：感謝陳詩峰老師和林瀚老師的精彩分享。陳老師暑假将在圖靈夏令營開設數學思維拓展課程，如果感興趣的朋友可以了解一下。圖靈夏令營介紹。

點擊查看>>圖靈教育2019年暑假數學、編程課程招生簡章

主持人：由于時間有限，可能不能解答所有朋友的問題。不過沒關系，陳老師還會在微信群繼續解答大家的問題。還有沒進群的可以加圖靈課程助理的微信。微信号18122738335

主持人：本次講座到此結束，感謝陳詩峰老師的分享，感謝各位朋友的參與，希望通過這個講座能給你們提供有用的資訊和幫助，謝謝大家！歡迎大家關注我們圖靈編程的荔枝微課直播間和公衆号，後續我們将會有其他關于青少年教育，關于編程，關于邏輯，關于數學等講座，歡迎大家繼續參加！

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這不是數學培優班,

這不是奧數培訓班，

這是專為普通學生開設的

數學思維拓展課程！

這不是常規的數學補習班，也不是奧賽培訓班，這是圖靈編程專為普通學生開設的數學思維拓展課程。

課程介紹

課程目的

不是為了數學競賽備賽，而是幫助普通學生，系統的梳理數學知識，成體系的去建構數學知識框架，使得在接觸更艱深的知識之前，打下一個堅實的基礎。

适用對象

适用年齡隻是以普通學校一般數學學業水平作為一個參考區間，同時附有初級組和中級組的授課大綱，請學生和家長根據自己所能接受的知識範圍，選擇合适的組别。

圖靈2019年暑假班時間表

— 課程安排 —

夏令營時間

1期(夏令營)：2019.7.21～7.28

2期(夏令營)：2019.7.30～8.6

3期(走讀)：2019.8.11～8.23

夏令營地點：廣州亞加達國際預科學校 （或同等食宿标準營地）

廣州地鐵四号線“廣隆站”C出口，往東前行200米。

走讀班地點：尚德/中大（教學點）

點擊下方獲取課程大綱

☞數學思維拓展（初級組）

适用人群：9-12歲（校内數學成績正常水平的學生即可報讀）

☞數學思維拓展（中級組）

适用人群：9-12歲（校内數學成績正常水平的學生即可報讀）

暑假班直通車：

☞：C 語言夏令營及暑假班

☞：數學思維數學思維拓展班

名

師

介

紹

陳詩峰

數學思維課程制作人

1999年畢業于中山大學計算機系，現就職于暨南大學大數據研究院擔任首席架構師。

兼任廣東省初等數學學會數學文化委員會主任。

一直熱心于在中小學生中推廣數學哲學、文化和科普等。目前主要研究方向是超大規模圖上的并行算法。

吳育清

數學思維課程講師（初級組）

畢業于華南師範大學化學教育專業。

專注小學數學教育，14年教齡。

擅長引導學生形成良好的學習習慣，思維習慣，讓學生學會自我管理

2006-2014年

培訓學生備賽小學希望杯、華杯賽，輔導各小升初大小聯盟考試

2014-2019年 以圖靈教育的數學思維拓展課程體系為大綱，重新整理和學習小學、中學、大學數學的知識脈絡，創建獨具特色的混齡教學方式，适合三到六年級學生重建和開發數學思維，得到了衆多家長和學生的認可。

報名詳情

封閉式夏令營：

課程：數學思維拓展（初級組）

年齡範圍：9-12歲（校内數學成績正常水平的學生即可報讀）

學費：4500元 （包含保險）

食宿費：1500元 （代營地收取）

課程：數學思維拓展（中級組）

年齡範圍：13歲或以上（校内數學成績正常水平的學生即可報讀）

學費：4500元 （包含保險）

食宿費：1500元 （代營地收取）

費用包含：

課程期間食宿費/課程學費/教材費資料費/旅遊意外保險

費用不含：

個人生活用品/前往集合地交通費

走讀班：

課程：數學思維拓展（初級組）

年齡範圍：9-12歲（校内數學成績正常水平的學生即可報讀）

學費：4500元

2019暑假其他課程（咨詢課程助理）

☞：python語言夏令營及暑假班

☞：數學思維數學思維拓展班

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