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一階微分方程有哪些解法

知識 更新时间:2024-12-26 08:52:20

  一階線性微分方程解法:

  dy/dx+P(x)y=Q(x),先令Q(x)=0則dy/dx+P(x)y=0,解得y=Ce-∫P(x)dx,再令y=ue-∫P(x)dx代入原方程,解得u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C,所以y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C],即y=Ce-∫P(x)dx+e-∫P(x)dx,∫Q(x)e∫P(x)dxdx為一階線性微分方程的通解。

  齊次方程解法:

  dy/dx=φ(y/x),令u=y/x則y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/[φ(u)-u]=dx/x,兩端積分,得∫du/[φ(u)-u]=∫dx/x,最後用y/x代替u,便得所給齊次方程的通解。

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