如果說複數産生是為了更好地刻畫方程的解，那麼四元數的産生則完全是認為的。所謂四元數是一種具有四個分量的複數的類似物，一般形式為
p=a bi cj dk
其中a,b,c和d為實數；i,j和k類似虛數，滿足：
類似複數，定義p的共轭為p’=a-bi-cj-dk，于是，可以得到四元數的模為
|p|2=pp’=a2 b2 c2 d2
但是，與我們通常使用的乘法有根本性的差别是：這種運算是不滿足交換律的，比如q是另一個四元數，那麼在一般情況下，pq≠qp，這是人們創造的第一個不滿足乘法交換律的數系。四元數是英國數學家哈密爾頓發明的，為了這個發明他思考了15年，問題的要害就在于乘法交換律。雖然至今為止也沒有找到四元數的應用，可是四元數的發明過程使數學家明白了，在有些情況下不需要顧忌現實生活中的物理背景，憑借邏輯推理就可以構造出有意義的，合理的數學表達，通過這些表達促進數學的發展。事實上，正是在四元數的啟發下，才有了超複數，向量分析，矩陣代數以及抽象代數等數學的重要研究領域的出現。
因此，随着對複數認識的深化，人麼也加強了對數學認識的深化，知道了除了從現實生活和生産實踐中抽象概念和運算之外，還可以從已有的數學結構出發，抽象出新的概念和運算法則，通過邏輯推理來構建新的數學。當然，數學研究的意義最終還需要現實的檢驗，正如愛因斯坦在1934年的著作《我眼中的世界》中所說：
迄今為止，我們的經驗已經使我們有理由相信，自然界是可想象的最簡單的數學結構的實際體現。我堅信，我們能夠用純粹數學的構造來發現概念以及把這些概念聯系起來的定律，這些概念和定律是理解自然現象的鑰匙。經驗可以提供合适的數學概念，但是數學概念無論如何都不能從經驗中推導出來。當然，經驗始終是檢驗數學結構實用性的唯一标準，但是創造性的原理都存在于數學之中。因此，在肯定的意義上，我認為純粹思維能夠把握實在，就像古人所想象的那樣。
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