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下面的問題都是世界難題。如果你能解決其中任何一個都能在數學界斬獲一個大獎。下文中，符号x^y 表示x的y次方。

1、哥德巴赫猜想猜想：每個不小于6的偶數，都可表示為兩個奇質數之和。

2、考蘭茲猜想，也叫3x 1猜想。給定一個正整數初始值n，如果n是偶數，則将其除以2，如果是奇數，就計算3n 1。這樣會得到一個新的正整數。照着這樣的操作一直進行下去，會得到一個正整數序列。考蘭茲猜想說，無論給定怎麼樣的初始值。這個序列最終會進入4,2,1,4,2,1......這樣的循環。

3、勒讓德猜想：任意兩個相鄰完全平方數之間，都存在至少一個質數。即，對任意正整數n，存在質數p，滿足n^2 < p < (n 1)^2

4、孿生質數猜想：存在無限多個質數p，使得p 2也是質數。

5、梅森質數猜想：形如 2^n - 1 的正整數中，有無窮多個質數。這個猜想大約在1639年提出，已經經過380多年了。

6、n^2 1猜想：存在無窮多個自然數n，使得n^2 1 是質數。

7、費馬數猜想：數列F(n) = 2^(2^n) 1 ，n = 0,1,2,3,4,... 其中的自然數稱為費馬數。證明費馬數中隻有有限多個質數。當n = 0,1,2,3,4時，費馬數F(n)是質數；1732年歐拉發現F(5)是合數. 此後沒有再發現其它費馬數是質數.。

8、奇完美數猜想：是否存在是奇數的完美數。一個正整數是完美數是指，它的所有真因數(非它自身的因數)之和等于它本身的自然數。比如6的真因數是1,2,3而1 2 3正好等于6。

9、完美長方體猜想：是否存在一個完美長方體。完美長方體是指這個長方體的長、寬、高以及其所有的面對角線和體對角線都是正整數。相當于尋找三個正整數a,b,c，使得 a^2 b^2 , a^2 c^2, b^2 c^2, a^2 b^2 c^2 這四個數的平方根都是整數。

10、黎曼假設：該問題提出于1859年，即讨論黎曼ζ函數的零點分布情況. 數論中有一些與之等價的命題.

11、歐拉常數是有理數還是無理數？其中的定義是 1 1/2 1/3 ... 1/n - ln n 在n→∞時的極限。

12、對于黎曼ζ函數，當k為正奇數時，ζ(k)是否為超越數。你可以用簡單的高數知識證明，k為正偶數時，ζ(k)是關于π的有理系數多項式，所以是超越數。

13、埃爾德什倒數和猜想。如果A是一個正整數的無窮子集，A中所有數的倒數和發散，那麼A包含任意長度的等差數列。格林和陶哲軒合作證明了A為質數集合的特殊情況，這個成果幫助後者得到菲爾茲獎。

14、n≥5時，拉姆齊數R(n,n)的值是多少。現在已知的是R(1,1) = 1 ， R(2,2) = 2 ， R(3,3) = 6, R(4,4) = 18 , n≥5的任何一個數都沒有結果。哪怕知道R(5,5) 是43到48這6個數中的其中一個，也無法把它驗證出來。

15、華林問題各種值的确定。對于正整數m,n , 如果任何一個正整數都能寫成n個非負整數m次方之和，而且n還是滿足這個條件的最小的，我們就說g(m)=n。比如四平方和定理：每個正整數均可表示為4個(非負)整數的平方和。而7不能表示為3個整數的平方和，相當于說g(2)=4。對于正整數m,n , 如果除了有限個情形外任何一個正整數都能寫成n個非負整數m次方之和，而且n還是滿足這個條件的最小的，我們就說G(m)=n。現在知道的很少的幾種情況是 g(2) = 4 , g(3) = 9 , g(4)=19 , g(5)=37 , g(6) = 73, G(2) = 4, G(4) = 16，還沒有找到确定所有的g(m), G(m)的一般方法。有個具體的猜想是g(m) = 2^m [(3/2)^m] - 2 ， 這裡方括号表示取整。

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