截長補短

遇到求證線段和差及倍半關系時，可以嘗試截長補短的方法．截長指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然後證明剩下部分等于另一條；補短指将一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然後證明新線段等于長線段．題目中常見的條件有等腰三角形（即兩條邊相等），或角平分線（即兩個角相等），通過截長補短後，并連接一些點，構造全等得出最終結論．

1．如圖，若要求證AB＋BD＝AC，可以在線段AC上截取線段AB′＝AB，并連接DB，證明B′C＝BD即可；或延長AB至點C′使得AC′＝AC，并連接BC′，證明BC′＝BD即可．

2．如圖，若要求證AB＋CD＝BC，可以在BC上截取線段BF＝AB，再證明CD＝CF即可；或延長BA至點F，使得BF＝BC，再證明AF＝CD即可．

【典型例題】——截長補短

042．如圖，點D為等腰直角三角形△ABC内一點，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA，則①DE平分∠BDC；②△BCE是等邊三角形；③∠AEB＝45°；④DE＝AD＋CD，其中正确的有（）．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【解析】

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD，

∴D在AB的垂直平分線上，∵AC＝BC，

∴C也在AB的垂直平分線上，即直線CD是AB的垂直平分線，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°，

∴∠BDE＝∠DBA＋∠BAD＝60°；∴∠CDE＝∠BDE，即DE平分∠BDC；

（2）∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠CEA＝15°，由①得∠CDE＝60°，∠DCB＝45°，

∴∠BCE＝60°，∵AC＝BC，∴CE＝BC，∴△BCE是等邊三角形；

（3）由②得△BCE是等邊三角形，∴∠BEC＝60°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEA＝45°；

（4）【方法一】

如圖，在DE上取一點F，使得DF＝CD，并連接CF，

∵∠CDE＝∠BDE＝60°，∴∠BDC＝120°，△DCF為等邊三角形，

∴∠DFC＝60°，DC＝FC，∴∠CFE＝∠CDB＝120°，

∵CB＝CE，∴△BDC≌△EFC，∴EF＝BD，

∴DE＝EF＋DF＝BD＋CD＝AD＋CD．

【方法二】

如圖，延長DC至點F，使得CF＝AD，并連接EF，

∵AD＝DB，∴CF＝BD，∵等邊△BCE，∴∠CBE＝∠BCE＝60°，BE＝CE，

∴∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝75°，∵∠BCD＝45°，∴∠ECF＝180°－∠DCE＝75°，

∴∠DBE＝∠ECF，∴△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，

∵∠CDE＝60°，∴△DEF為等邊三角形，∴DE＝DF＝DC＋CF＝AD＋CD．

【總結】線段和差的問題可以考慮使用截長補短的方法．

【舉一反三】

042．（15十堰）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，則CF的長為（　　）．

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