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數學微積分證明題

生活 更新时间:2024-07-31 22:16:24

定積分的證明題是考研中必考題型,主要涉及到讨論變限積分所定義的函數的極限、導數、奇偶性、周期性、單調性和求被積函數;讨論定積分或變限積分的不等式,或者定積分、變限積分的零點問題。需要重點掌握定積分的如下性質:

數學微積分證明題(高等數學之定積分證明題的問題方法總結)1

證明某積分不等式,是考研中經常見到的問題,處理這類問題有三種方法:

(1)将要證的某某>0的一邊看成變限函數,用微分學的辦法證此不等式(例如單調性,最值,拉格朗日中值定理等),這是考研中經常用到的方法。

(2)利用積分性質,例如積分中值定理,積分變量代換,分部積分等方法,經變形并計算。

例1:

數學微積分證明題(高等數學之定積分證明題的問題方法總結)2

分析:凡是微分中值定理中又涉及積分中值定理的,應首先應用積分中值定理獲取一些特定點的函數值信息,再用微分中值定理證明。

證明:

數學微積分證明題(高等數學之定積分證明題的問題方法總結)3

利用積分中值定理證明

例2:

數學微積分證明題(高等數學之定積分證明題的問題方法總結)4

證明:

數學微積分證明題(高等數學之定積分證明題的問題方法總結)5

利用第一種方法證明

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