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三角函數與複數的轉化

生活更新时间:2024-08-13 13:06:58

單位圓上的複數既可以表示成三角函數和的形式，也可以表示成複指數的形式。一般地，有以下公式：

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）1

因為指數具有極好的運算性質，可以将乘除法轉化為加減法，幂次方根轉換為乘除法，于是關于三角函數的一些恒等式，可以先轉化為複數，然後利用複數的運算性質得到極其簡單迅速的證明。

需要用到的公式如下：

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）2

前面比較簡單，老生常談。可直接跳到最後，也許有些許幫助。

0.三角函數的誘導公式

奇變偶不變，符号看象限。沒啥好說的。

1.三角函數的倍角公式

二倍角公式：

令n=2,得

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）3

另一方面，

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）4

比較虛部實部，立得：

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）5

三倍角公式：

令n=3,得

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）6

另一方面，

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）7

比較虛部實部，立得：

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）8

四倍角，五倍角公式等等思路一樣。

半角公式是倍角公式的逆運算，不再贅述。

2.兩角和差公式

首先

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）9

另一方面

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）10

比較實部虛部，立得

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）11

兩角差一樣。

3.三角函數的和差化積

考慮

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）12

對左邊，有

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）13

比較實部虛部，立得

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）14

4.三角函數的積化和差

根據和差化積的結果，把式子從右往左看，就是積化和差

5.三角函數的等差角求和公式

計算：

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）15

考慮等比數列

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）16

根據求和公式，有上式

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）17

比較實部虛部，立得

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）18

6.帶高階幂次的恒等式

需要一定的技巧，靈活運用三角函數與複指數函數的轉化關系。

一道簡單的題目體會一下：

證明如下恒等式

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）19

從右往左的話，簡單地說，隻要全用多倍角公式展開即可。

顯然，有點麻煩。

不妨從左往右：

為了表達方便，記

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）20

于是左邊=

三角函數與複數的轉化（複數與三角函數恒等式的證明）21

靈活運用平方差公式，很容易就得到了結果。而且本題是證明題，右邊的表達式已經暗示你怎樣拆分和合并幂次了。

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