a矩陣e矩陣?矩陣AB=E(E單位矩陣)能得到什麼結論呢?,我來為大家科普一下關于a矩陣e矩陣?下面希望有你要的答案,我們一起來看看吧!
矩陣AB=E(E單位矩陣)能得到什麼結論呢?
可以得到以下幾個結論:
結論1:R(A)=R(B)=R(E),即A,B,E的秩相等;
結論2:A是行滿秩矩陣,B是列滿秩矩陣;
結論3:A的行向量組線性無關,B的列向量組線性無關。
注:這裡比較容易出錯的是:認為AB=E是可逆的定義,進而A,B是互逆的矩陣,所以它們秩相等;其實不然,因為這裡A,B不一定是方陣,從而就不能用逆矩陣來解釋。
正确的解答如下:
要使得AB=E,則根據矩陣乘法的定義,可假設A是n×m型,B是m×n型,這時E是n階單位矩陣;
由矩陣秩的兩個性質(兩個矩陣乘積的秩小于等于最小的一個矩陣的秩;矩陣的秩小于等于矩陣行數和列數最小的一個):n=R(E)=R(AB)≤R(A)(≤R(B)≤n)≤n,所以得到:R(A)=R(B)=R(E);
同時也得到:A是行滿秩矩陣,B是列滿秩矩陣;
另外,根據矩陣是行(列)滿秩等價于矩陣的行(列)向量組線性無關,得到:A的行向量組線性無關,B的列向量組線性無關。
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