0.9無限循環小數等于一嗎?關于0.9…≠1評論的簡要回複 我就是要發表與數學界主流不同的意見，接下來我們就來聊聊關于0.9無限循環小數等于一嗎?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

0.9無限循環小數等于一嗎

關于0.9…≠1評論的簡要回複 我就是要發表與數學界主流不同的意見

關于0.9…≠1的稿件已經分為5次發表完畢。另外還發表了一位外國數學家關于0.9…≠1的意見。

有關評論已經全部拜讀（截止2017-7-9,17時30分）。現在簡要回複如下。

首先，我要發表的就是與現在數學界的主流不同的意見。原因很簡單：主流意見中有錯誤。我知道阻力很大，甚至是非常大。但是錯誤就應該糾正。我們應該站在巨人的肩上，不應該跪倒在巨人面前。由于種種原因，大人物也會犯錯誤。當年亞裡士多德就是大人物。他的錯誤多得很。地心說就是一個。教會據此反對日心說。事實證明：小人物哥白尼的日心說是正确的。真理在手，所向披靡。

現在都提倡創新。提出不同意見、糾正過去的錯誤也是一種創新。所以我要上頭條。

0.9…是否1是實數中的一個問題，屬于純粹數學。（我讨論的不是應用數學問題。）

文中談的是實數中一個至今仍然有争論的問題：0.9…是否等于1。這個問題一般人都容易明白。現在的結論應該是：0.9…≠1。

①據我了解，多數普通人已經不記得在小學裡學習的無限循環小數了。所以很多人的直覺就是0.9…≠1。正如崔永元所說：它們“明明是不一樣的。”這是直覺。

現在已經很顯然：這個直覺是正确的。

奇怪的是：數學界至今仍然堅持0.9…=1。令人匪夷所思!

關于第1部分。建議那些仍然認為0.9…=1的人仔細看看文章中的論證，請特别注意指數表示法。指數表示法是對“最有力的證明0.9…=1”的方法的最有力的的反駁。1÷3=1/3是正确的，但是1/3=0.3…是錯誤的。（我查找的了一些材料，發現外國人也最推崇小學生使用的方法，即利用1÷3=1/3=0.3…來證明1=0.9…。無語！我看外國人不見得比中國人聰明。）隻要利用豎式老老實實地算一下，就會發現豎式中始終存在一個餘數：1。對于小學生而言，這個餘數1沒有辦法表示出來。于是告訴他們寫成1/3=0.3…乃是不得已而為之。當然關鍵是沒有人發現這是錯誤的。可是對于中學生、特别是高中生乃至大學生而言，利用指數表示法完全可以很簡單、又很确切地表示出這個餘數：1/10，1/10^2，1/10^3，…1/10^n，…。

發表的評論中多數反對我的結果。這些人還知道現在數學界的規定。估計他們在中學甚至大學仍然學習過數學。可是遺憾的是，有一些竟然還是利用小學數學中的運算結果即1/3=0.3…來反對我的論證。希望他們不要仍然拘于小學運算了。建議仔細看看我的文章，建議至少應該嘗試利用中學的指數表示法來研究和表示這個運算的結果。

這個運算的結果的困難在于無窮。畢竟有限和無窮是兩個範疇。對于無窮必須非常小心謹慎，千萬不能想當然。

前蘇聯數學家魯金對無限循環小數的思考值得重視。他說：

“在OM與單位長度可通約時，也就是，在M點具有某個有理數p/q的橫坐标時，我們講的度量步驟顯然也是适用的。隻有在這種情況下，像初等數學中所講的，不盡小數

a0.a1a2…an…（0、1、2、n、k等等是下标。下面相同。李長白注）才會是循環的（純粹的或混合的）。一般算術中，在這種情況下，寫作下面的慣例等式①

p/q= a0.a1a2…an…, （1）

(下面略。李長白注)”

他在注釋中寫道：“① 要是注意到這個等式的慣例性，讀者就對了：真正的等号‘=’隻有當它的左右兩邊都是真正的數時，才是寫得合适的。這裡左邊是個真正的數p/q；而右邊不是數，隻是一個不盡符号，是用來給出左邊那個真正的數的十進位近似值。隻有當從某個号碼k起數碼an都等于0時：

ak 1=ak 2=ak 3=…=0

這個慣例等式才變成真正等式。

在這種情形，我們有真正的等式：

p/q=a0 a1/10 a2/100 ak/10k ，

其中右邊的和是由有限項所組成的，它們全部可以實際加起來。”〈蘇聯〉魯 金《微分學》譚家岱 張理京譯 高等 教育出版社 1954年上海第1版 §11, 13。（這本書一般老一點大學圖書館中都可以查到。）

讀者容易發現，魯金已經想到利用指數表示法。隻是他沒有貫徹到底，沒有利用指數表示法表示指數是n的時候的情況，更沒有想到應該研究n→∞的情況。功虧一篑！

又，由于1/n×n=1(n→∞)(請看第1部分引用的魯金的論述），容易推出1/10^n×10^n=1(n→∞)。所以1/10^n不是絕對的0，不能随意舍棄。如果有人能夠駁倒魯金的論述，我就認輸（認一半輸）。

強調一下，1-1/10^n=0.9…是正确的（也可以查看注釋中提到的維基百科關于這個問題的争論，非常多。比較正經。全部是英文。那個人（不知道是哪國人）在2014年10月寫出了類似的等式。隻是在後面大意了，所以出了錯誤。我的英文不好，沒有全部閱讀。他們沒有人想到利用我的方法來證明0.9…=1。）。

一定要注意：二者雖然相等，可是左側的寫法好，不容易使人犯錯誤。也就是指數表示法好！而0.9…的表示法中隻是隐含着（-1/10^n)這一項，稍微一大意就會忘記這一點！

還有人提出，如果0.9…和1之間如果不存在另外的數，則二者就相等。我在《破解錐體悖論的一些啟示（續6月29日《破解“錐體悖論”》。》中回答了這個問題。摘抄一部分：“很顯然，1的左側肯定存在一個和它互相鄰接的實數，但是它當然不是1。所以隻根據兩個實數中間找不出第三個數，就說這兩個數是同一個數肯定是錯誤的。因為如果這兩個數确實“相等”，則可以推出第三個數也和它相等，等等，而且可以無窮地推理，以至于所有的數都相等。這未免太荒唐了。有些人以找不出0.9…和1之間的數而認定它們是一個數，未免錯的太離譜了。兩個數之間不存在第三個數，和這兩個數相等根本是兩回事。把二者混為一談，屬于概念混亂。

也因此，0.9…和1之間即使不存在别的數，也不說明二者相等，更不能因此判定二者是同一個數。甚至正相反，完全可以肯定二者絕不是一個數，至多隻是“互相鄰接”的數。當然，事實上二者之間存在着很多數。

應該承認，數學界有一些人已經意識到互相鄰接的數不是同一個數，其典型是利用a 0、a和a-0這三項來表示連續性。。一般人可能以為這三個數表示的都是同一個數，因為任何數加上一個0或者減去一個0都還等于這個數本身。至少該作者不是這樣認為的。這種表示法得到數學界很多人的贊成。用我的話說，它們表示的是三個互相鄰接的實數單子（單子是借用了萊布尼茨的術語），a-0位于左側，a居中，a 0位于右側。也許，利用al，a，ar表示這三個數可能更好。l是left即英文左邊的第一個字母，r是right即英文右邊的第一個字母。這是相對的表示法。（注意：《頭條》中沒有辦法表示數學中的數的下标。這裡的l和r應該分别是a的下标。）”（這一段話有人看懂了。其實自然數中，1和2就是互相鄰接的數。它們之間肯定沒有别的自然數。但是肯定不能說1就等于2。同理，即使0.9…和1之間沒有别的實數，也不能說二者就是相等的。必須證明。但是正如那位外國數學家所說，所有關于二者相等的證明都是錯誤的。限于篇幅，不一一反駁。）

關于第2部分。計算的結果更有力地證明了0.9…≠1。

對幾個具體的評論回答如下。

有人提出，（8.2）式錯了。說無窮大是分為階的。不同階的無窮大不能互相替換。我沒有明白。（8.2）是lim(1-1/n)^n=1/e (n→∞)。也許他說的是（8.1）？

有人說：（8.7）式不成立。否。（8.7）式肯定成立。可以從兩個方面說明。一是它隻不過是利用10^n代換了n，利用[1/（10^n）]代換了（1/n）；二是可以從（8.7）式是（8.2）無窮真子集推出它們的極限相同（是n=10,10^2，10^3，…的時候的序列）。你想不到的就是錯誤的？我看未必。當然計算機肯定不會有這樣的聯想。隻有人才能想到。

有人說（8.8）更是狗屁不通。我隻能表示遺憾。已經有外國人寫出此式。希望你查看注2。（那個讨論非常長。如果需要，我可以發給你我下載的文章。）

如果有人能夠駁倒lim(1-1/n)^n=1/e (n→∞)(詳細請看柯朗的《什麼是數學》。)那我的證明就一定錯了。我一定認輸（徹底認輸）。

反之，如果魯金和柯朗的論證是正确的（我認為這毫無疑義）。我就赢了。

我相信，這個錯誤遲早會有人發現和糾正的。我不過是先走了一步。

②第3、4、5部分是論述0.9…≠1帶來的沖擊。

本文争議很大。但是顯然沒有人真正駁倒我的論證。所以我仍然堅持我的結論。

[後人可能會笑話我們：這麼簡單的問題竟然需要争論這麼久。因為對未來的大學生而言，這不過是一道習題：利用邏輯和計算證明0.9…≠1。隻是那個時候可能需要告訴他們什麼是無限循環小數。]

也可以查找李長白數學網。

關于老外數學家一文，我看重的是：他的觀點和我一樣。我不認為他是民科。當然他的論證還欠力度。他如果利用指數表示法去論證，會更簡單，但是會更有說服力。

不必太介意他的論證中的毛病。新的東西在開始的時候一般都不那麼完善。應該寬容。

從評論中，看出有一些人對這個問題有所思考。這就好。

我非常歡迎批評指正。隻是希望要針對我的論證進行具體的批評。歡迎争論。真理越辯越明。但是不要隻依據“已有定論”。因為我就是要挑戰錯誤的“已有定論”并且糾正。

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